Математический аппарат современной экономики часто используется на основе
традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на
системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация
вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного
эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех
возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных
начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные
величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты
существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем,
при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов
(существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин,
распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в
своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть [pic]— произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной [pic]называется измеримая функция [pic], отображающая
[pic]в множество действительных чисел [pic], т.е. функция, для которой
прообраз [pic]любого борелевского множества [pic]есть множество из [pic]-
алгебры [pic].
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно
брошенной в квадрат точки [pic].
Множество значений случайной величины [pic]будем обозначать [pic], а образ
элементарного события [pic]— [pic]. Множество значений [pic]может быть
конечным, счетным или несчетным.
Определим [pic]-алгебру на множестве [pic]. В общем случае [pic]-алгебра
числового множества [pic]может быть образована применением конечного числа
операций объединения и пересечения интервалов [pic]или полуинтервалов вида
[pic]([pic]), в которых одно из чисел [pic]или [pic]может быть равно
[pic]или [pic].
В частном случае, когда [pic]— дискретное (не более чем счетное) множество,
[pic]-алгебру образуют любые подмножества множества [pic], в том числе и
одноточечные.
Таким образом [pic]-алгебру множества [pic]можно построить из множеств
[pic]или [pic], или [pic].
Будем называть событием [pic]любое подмножество значений [pic]случайной
величины [pic]: [pic]. Прообраз этого события обозначим [pic]. Ясно, что
[pic]; [pic]; [pic]. Все множества [pic], которые могут быть получены как
подмножества [pic]из множества [pic], [pic], применением конечного числа
операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив
множество возможных значений случайной величины [pic]— [pic]и выделив
систему событий [pic], построим измеримое пространство [pic]. Определим
вероятность на подмножествах (событиях) [pic]из [pic]таким образом, чтобы
она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:
[pic].
Тогда тройка [pic]назовем вероятностным пространством случайной величины
[pic], где [pic]
— множество значений случайной величины [pic]; [pic]— [pic]-алгебра
числового множества [pic]; [pic]— функция вероятности случайной величины
[pic].
Если каждому событию [pic]поставлено в соответствие [pic], то говорят, что
задано распределение случайной величины [pic]. Функция [pic]задается на
таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить
вероятность произвольного события [pic]. Тогда событиями могут быть события
[pic].
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство [pic], образованное случайной
величиной [pic].
Определение. Функцией распределения случайной величины [pic]называется
функция [pic]действительного переменного [pic], определяющая вероятность
того, что случайная величина [pic]примет в результате реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа [pic]:
[pic](1)
Там где понятно, о какой случайной величине [pic], [pic]или [pic]идет речь,
вместо [pic]будем писать [pic]. Если рассматривать случайную величину
[pic]как случайную точку на оси [pic], то функция распределения [pic]с
геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка
[pic]в результате реализации эксперимента попадет левее точки [pic].
Очевидно что функция [pic]при любом [pic]удовлетворяет неравенству [pic].
Функция распределения случайной величины [pic]имеет следующие свойства:
2) Функция распределения — неубывающая функция [pic], т.е. для любых [pic]и
[pic], таких что [pic], имеет место неравенство [pic].
Доказательство. Пусть [pic]и [pic]и [pic]. Событие, состоящее в том, что
[pic]примет значение, меньшее, чем [pic], [pic]представим в виде
объединения двух несовместных событий [pic]и [pic]: [pic].
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, [pic]или по формуле (1)
[pic], (2)
откуда [pic], так как [pic]. Свойство доказано.
Теорема. Для любых [pic]и [pic]вероятность неравенства [pic]вычисляется по
формуле
[pic](3)
Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).
Таким образом, вероятность попадания случайной величины [pic]в полуинтервал
[pic]равна разности значений функции распределения вычисленных на концах
полуинтервала [pic]и [pic].
2) [pic]; [pic].
Доказательство. Пусть [pic]и [pic]— две монотонные числовые
последовательности, причем [pic], [pic]при [pic]. Событие [pic]состоит в
том, что [pic]. Достоверное событие [pic]эквивалентно объединению событий
[pic]:
[pic]; [pic].
Так как [pic], то по свойству вероятностей [pic], т.е. [pic].
Принимая во внимание определение предела, получаем [pic]; [pic]
3) Функция [pic]непрерывна слева в любой точке [pic], [pic]
Доказательство. Пусть [pic]— любая возрастающая последовательность чисел,
сходящаяся к [pic]. Тогда можно записать: [pic]
На основании аксиомы 3 [pic]
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к [pic], то
остаток ряда, начиная с некоторого номера [pic], будет меньше [pic],
[pic](теорема об остатке ряда)
[pic].
Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию
распределения. Получим
[pic],
откуда [pic]или [pic], а это означает, что [pic].
Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения
[pic]является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет
условию [pic]и [pic]. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1),
2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной
величины.
Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше
действительного числа [pic], вычисляется по формуле [pic].
Доказательство. Достоверное событие [pic]представим в виде объединения двух
несовместных событий [pic]и [pic]. Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова
[pic]или [pic], откуда следует искомая формула.
Определение. Будем говорить, что функция распределения [pic]имеет при
[pic]скачок [pic], если [pic], где [pic]и [pic]пределы слева и справа
функции распределения [pic]в точке [pic].
Теорема. Для каждого [pic]из пространства [pic]случайной величины
[pic]имеет место формула [pic]
Доказательство. Приняв в формуле (3) [pic], [pic]и перейдя к пределу при
[pic], [pic], согласно свойству 3), получим искомый результат.
Можно показать, что функция [pic]может иметь не более чем счетное число
скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного
скачка [pic], скачков [pic]— не более 3-х, скачков [pic]не более чем [pic].
Иногда поведение случайной величины [pic]характеризуется не заданием ее
функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так,
чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию
распределения [pic].