Глава Математическое моделирование системных
элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей
точного естес-
твознания, Галилео Галилей (1564 — 1642гг.) говорил, что «Книга природы
написана на языке математики». Почти через двести лет родоначальник
немецкой классической фи-
лософии Иммануил Кант (1742 — 1804гг.) утверждал, что «Во всякой науке
столько ис-
тины, сколько в ней математики». Наконец, ещё через почти сто пятьдесят
лет, практи-
чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 —
1943гг.) констатировал: «Математика — основа всего точного естествознания».
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных
комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в
научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности
специалистов.

1.1. Три этапа математизации
знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации
знаний: ма-
тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных,
моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап — это математическая, чаще всего именно
количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап
выявления и выделения чисто фе-
номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными
сигна-
лами (входами [pic]) и выходными реакциями (откликами [pic]) на уровне
целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с
объектами-оригиналами [pic]. Данный этап математизации имеет место во
всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её
эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом
этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных,
базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и
параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из
значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап
математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций,
многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные.
Таким образом, на «модельном» этапе математизации, т.е. этапе
математического моделирования, осуществляется попытка теоретического
воспроизве-дения, «теоретической реконструкции» некоторого интересующего
исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта — математической
модели.

Третий этап — это этап относительно полной математической теории
данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной
области. Тре-
тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и
аксиомати-
ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания
явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт
возможность преодоле-
вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и
модель

Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный
метод позна-
вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения
явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых
объектов — матема-
тических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность
соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.),
определяющих характе-
ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения —
реакции
[pic], в зависимости от параметров объекта-оригинала [pic], входных воздей-

ствий [pic], начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства
(атрибуты) объекта-оригинала [pic], которые отражают, определяют и
представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования.
Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении
одного и того же объекта-оригинала [pic] с различных точек зрения и в
различных аспектах, последний может иметь различные математичес-
кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими
моделя-
ми.
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в
то же время строгое конструктивное определение математической модели,
сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель — это формальная система,
представляю-
щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил
оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств
определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание
символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами
(«грамматика» и «синтак-
сис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных
математичес-
ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект
математи-
ческой моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения
интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее
более подробно.

1.3. Интерпретации в математическом
моделировании

Интерпретация (от латинского «interpretatio» — разъяснение,
толкование, истолко-
вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-
либо об-
разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным
симво-
лам. В математическом аспекте интерпретация — это экстраполяция исходных
положе-
ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему,
исход-
ные положения которой определяются независимо от формальной системы.
Следова-
тельно, можно утверждать, что интерпретация — это установление соответствия
между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда
формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к
содержательной системе, т.е. ус-
тановлено что между элементами формальной системы и элементами
содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все
исходные положения фор-
мальной системы получают подтверждение в содержательной системе.
Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы
соответствует некото-
рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие
наруша-
ется, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации
задаются значе-
ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и
целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание
интер-
претации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании — это
информа-
ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в
кон-
кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе
отображения
непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и
называе-
мого областью интерпретации, в кообласть — информационное множество данных
и зна-
ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое
об-
ластью значений интерпретации.

Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из
основопола-
гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного)
модели-
рования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам
(компонентам) ма-
тематического выражения, делает последнее математической моделью реального
объек-
та.

1.4. Виды и уровни
интерпретаций

Создание математической модели системного элемента — многоэтапный
процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ,
является интер-
претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального
(исходного) ин-
формационного содержания интерпретируемого математического объекта —
математи-
ческого описания и требуемого конечного информационного содержания
математичес-
кого объекта — модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий
переход от АМО — описания к конкретной ММ, включает четыре вида
интерпретаций: синтаксичес-
кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и
количес-
твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может
иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные
виды интер-
претаций.

Cинтаксическая
интерпретация

Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение
морфоло-
гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую
организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая
интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического
языка, так и различных матема-
тических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов
задач реализации.

Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан
кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации
сформировать мор-
фологическую структуру математического выражения
[pic]
(1)

Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую
структуру,
которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя
(эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации
преобразовать в со-
ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St[pic]в
адекватную требуемую St[pic],т.е.
[pic]
(2)

Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую
структуру St[pic], удовлетворяющую общим принципам и требованиям
исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется
посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой
St[pic]до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования
[pic]
(3)

Таким образом, синтаксическая интерпретация математических
объектов даёт воз-
можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять
отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного
математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать
морфологические структурные представ-
ления АМО в рамках одного математического языка.

Семантическая интерпретация

Семантическая интерпретация предполагает задание смысла
математических вы-
ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в
терминах сфе-
ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация
даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы,
виды, клас-
сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и
абстраги-
рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая
интерпре-
тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл
абстрактному ма-
тематическому объекту, «переводит» последний в категорию математической
модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая
интерпретация.

Качественная интерпретация

Интерпретация на качественном уровне предполагает существование
качествен-
ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях)
которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут
использоваться графические и числовые представления, посредством которых,
например, интерпретиру-
ется режим функционирования объекта моделирования.

Количественная интерпретация

Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в
рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин,
определяющих значение па-
раметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность
из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов
выделить один един-
ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-
ори-
гинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций —
синтаксической, се-
мантической, качественной и количественной происходит поэтапная
трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы [pic]
, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта
моделирования.