МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра Экономики

Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”

Вариант №18

Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.

Проверила:

________ Сидоренко М.Г.

г. Томск 2003

Задание №1

Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как
функция
[pic]. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти
оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль [pic]
Воспользуемся соотношением [pic] — т.е. частные производные приравняем к
нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
[pic]

Задание №2

Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите
равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е.
200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
[pic]
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
[pic]
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через
производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при
равновесной цене.

Задание №3
Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) [pic].
Решение:

1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является
одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В
матрице седловой точки нет.
[pic] Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:

[pic]
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание
случайной величины W(x,y):
[pic]
Оптимальные стратегии игроков:
[pic]
2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой
суммой, то для игры с матрицей [pic] оптимальные смешанные для 1 и 2
игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
[pic]
[pic]
[pic]
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
[pic]

Задание №4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов
прямых материальных затрат [pic] и вектор конечной продукции [pic]. Найти
коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул
обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему
межотраслевого баланса.

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо,
учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
[pic]
Матрица косвенных затрат второго порядка:
[pic]
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
[pic]
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул
обращения невыраженных матриц:
Находим матрицу (E-A):
[pic]
Вычисляем определитель этой матрицы:
[pic]
Транспонируем матрицу (E-A):
[pic]
Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
[pic]
Таким образом:
[pic]

Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
[pic]
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные –
это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по
точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта
косвенных затрат выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину
валовой продукции:
[pic]
Схема межотраслевого баланса

|Производящие |Потребляющие отрасли |
|отрасли | |
| |1 |2 |3 |Конечная |Валовая |
| | | | |продукция |продукция |
|1 |2574,67 |464,32 |0 |640 |3678,1 |
|2 |1839,05 |232,16 |0 |250 |2321,6 |
|3 |0 |232,16 |3328,64 |600 |4160,8 |
|Условно | | | | | |
|чистая |-735,62 |1392,96 |832,16 |1490 | |
|продукция | | | | | |
|Валовая |3678,1 |2321,6 |4160,8 | |10160,5 |
|продукция | | | | | |

Задание №5

Проверить ряд [pic] на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом
простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом
экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически,
определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени
(линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага
вперёд.

Решение:

a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для
выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда
которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической
системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает
существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и
на трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
[pic]
[pic]Расчётные значения:
|[pic] |2,8 |2,3 |1,5 |1,3 |1,2 |1,1 |1 |

Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней
нет, т.е. [pic].

b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
[pic]

|t |[pi|Метод простой скользящей средней,|
| |c] |[pic] |
|1 |53 |— |
|2 |51 |— |
|3 |52 |52 |
|4 |54 |52,3 |
|5 |55 |53,6 |
|6 |56 |55 |
|7 |55 |55,3 |
|8 |54 |55 |
|9 |56 |55 |
|10 |57 |55,6 |

c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
[pic]

|t |[pi|Экспоненциальный метод, [pic] |
| |c] | |
|1 |53 |52,1 |
|2 |51 |51,99 |
|3 |52 |51,99 |
|4 |54 |52,19 |
|5 |55 |52,47 |
|6 |56 |52,82 |
|7 |55 |53,04 |
|8 |54 |53,14 |
|9 |56 |53,42 |
|10 |57 |53,78 |

d) Представим результаты графически:
[pic]

e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени
(линейную модель):
[pic]
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е.
необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
[pic]
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно
выполняться:[pic]
[pic]

|t |Фактическое |Расчётное |Отклонение |Точки пиков|
| |[pic] |[pic] |[pic] | |
|1 |53 |51,97 |1,03 |— |
|2 |51 |52,49 |-1,49 |1 |
|3 |52 |53 |-1 |0 |
|4 |54 |53,52 |0,48 |0 |
|5 |55 |54,03 |0,97 |0 |
|6 |56 |54,55 |1,45 |1 |
|7 |55 |55,06 |-0,06 |0 |
|8 |54 |55,58 |-1,58 |1 |
|9 |56 |56,09 |-0,09 |0 |
|10|57 |56,61 |0,39 |— |
|55|543 |542,9 |0,1 |3 |

b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному
закону распределения:
[pic]

[pic]
Необходимые условия:
[pic]
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере
распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы
одно из следующих неравенств:
[pic]
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель
признаётся неадекватной.
1)[pic]
2)[pic]
Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель
неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.

Задание №6

Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад.
Интенсивность потока [pic], производительность пункта [pic]. Определить
вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала
заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную
способности, среднее число занятых бригад.

Решение:

Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время
использования одной заявки)
[pic]
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
[pic]
b) Вероятность того, что один канала занят:
[pic]
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
[pic]
d) Вероятность отказа в заявке:
[pic]
e) Относительная пропускная способность:
[pic]
f) Абсолютная пропускная способность:
[pic]
g) Среднее число занятых бригад:
[pic]