Билет№1
1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число
Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области
определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т
называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция
(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа
вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом
является число T=2P. Для построения графика периодической функции
достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т,
а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси
абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…
2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-
целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.
a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных
показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным
показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a
и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с
одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и
показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.
2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же
основанием и показателем, равным разности показателей делимого и
делителя: a^r : a^s = a^r-s.
3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а
показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна
произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна
частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число
и число a больше нуля, но меньше числа b, 0<a<b, тогда: a^r < b^r ,
если r- положительное число; r^r > b^r, если r-отрицательное число.7)
Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r<s следует, что:
a^r <a^s при a>1 ; a^r > a^s при 0<a<1. Докажем свойство 2 Пусть
r=m/n и s=p/q, где n и q – натуральные числа, а m и p – целые числа.
По определению степени с рациональным показателем имеем: a^m/n :
a^p/q = nSQRa^m : qSQRa^p. Приведём корни к одному показателю. Для
этого воспользуемся свойством корней n-й степени: nSQRa = nrSQRa^r,
r>0. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq /
nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq /
nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение
степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =
a^mq/nq-pn/nq = a^m/n-p/q = a^r-s.

Билет №2
1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой
окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)
Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий
эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.
Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой
окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)
Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для
любого х.
2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,
следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень
x=arcsin a.
Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о
корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.
В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)
решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n
x=пи- arcsin a +2пи n
решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы
x=(-1)^n arcsin a + пи n
при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а
при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3
1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены
следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin
a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26)
arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3=
SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 /
2 >1, a arcsin a определён при –1 <= a <= 1 Определение
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-
Пи/2;Пи/2], синус которого равен а.
2) Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то
функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции
f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I
может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1)
Воспользуемся определением первообразной:
(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная
функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции
f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной.
Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0,
следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-
F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C.
Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются
друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18)

Билет №4
1) Арккосинусом числа а называется такое число, для которого
выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos
a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28)
arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = Ѕ. Пример
2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a
определён при |a|Б=1
2) Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а-
заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной
функции 1) Областью определения показательной функции являются
все действительные числа. Это следует из того, что для любого x
принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)
Множеством значений показательной функции являются все
положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)
Показательная функция y+a^x возрастает на всей области
определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает
на всей области определения, если 0<a<1. Докажем, что если a>1,
то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее
значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно,
если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2
>a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1
при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что
если 0 < a<1, то большему значению аргумента (x2>x1)
соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств
степени известно, если r>s и 0<a<1, то a^r<a^s. Пусть x2>x1 и
0<a<1, тогда a^x2 < a^x1 (по свойству степени). А это означает,
что функция y=a^x при 0<a<1 убывает на всей области определения.
4) Нет таких значений аргумента, при которых значения
показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции
нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области
определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой
точки области определения, производная вычисляется по формуле
(a^x)’ = a^x ln a. (график на рисунке 29)

Билет№ 5

1) На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает
все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-
Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это
число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.
Определение Арктангенсом числа а называется такое число из
интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример
arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4((-Пи/2;Пи/2); arctg(-
SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3((-Пи/2;Пи/2).
2) Логарифмической функцией называется функция вида y = loga x, где
а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства логарифмической
функции 1) Областью определения логарифмической функции являются
все положительные действительные числа. Это следует из
определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет
смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции
являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное
действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное
значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По
определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы
показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение
логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное
действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в
нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма
получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция
y=loga x возрастает на всей области определения, если
a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)
соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1),
если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное
логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде
a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два
значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная
функция возрастает, большее значение функции может быть только
при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.
б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области
определения, если 0<a<1. 5) Логарифмическая функция y=logax: а)
при a>1 принимает положительные значения, если x>1;
отрицательные значения, если 0<x<1 б) при 0<a<1 принимает
положительные значения, если 0<x<1, и отрицательные значения,
если x>1. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей
области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует,
что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 0<x<1 logax <
loga1, т.е. logax <0. Пусть 0<a<1; тогда функция y=logax убывает
на всей области определения (рис.32); причём loga1=0. Из этого
следует, что: для x>1 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0<x<1
logax > loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция
непрерывна на всей области определения.

Билет №6
1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого
промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит
этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он
существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.
Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону
x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.
Механический смысл производной состоит в том, что производная от
координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).
2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos
x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На
примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a
имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x –
периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на
промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+
2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx
возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а
именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем
вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn],
где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n
принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть
записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.

Билет № 7
1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого
промежутка; ?x-приращение аргумента х; точка х0+ ?x принадлежит этому
промежутку; ?y-приращение функции. Предел отношения (если он
существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.
Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический
смысл производной состоит в том, что значение производной функции в
точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к
графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой
коэффициент касательной.
2) 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на
этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один
корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период
тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn,
nпринадлежит Z.

Билет №8
1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого
промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) ?f(a)
с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то
говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна
в точке а , если f(x) >f(a) при х >а.
Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на
промежутке.
Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.
Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x >3^2,
при х>2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел ,
а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.
2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное
число n-ая степень к-рого равна а.
Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных
чисел a и b выполняются следующие св-ва:
1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b
2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ?0
3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0
4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0
5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)
6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется
неравенство:
n sqr a< n sqr b, если 0?a<b
Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n
sqr a)^k? 0, так как n sqr a? 0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k.
По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr
a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.
Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k.

Билет №9
1. Все рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области
определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-
рациональные ф-ции дефференцируемы во всех точках своих областей опр-ия.
Например: ф-ция f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных
чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-(:2) и на
промежутке (2;+ ()
2. Логарифмом числа b наз-ся показатель степени в к-рую нужно возвести
основание а чтобы получить число b.
Из опр-ия имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто)
Св-ва логарифмов: При любом а>0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются
следующие св-ва:
1) loga1=0
2) logaа=1
3) loga(ху)= logaХ+ logaУ
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством
a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции
а^ х+у =а^x * а^y имеем
а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ
5) logaХ^Р= рlogaХ
6) Формула перехода:
logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех
значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция
F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех
действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).
2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс
, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.
Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме
чисел вида
X=пи/2 +пи k, k(Z.
Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа,
при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.
2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().
3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во
tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме
0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg
x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k<x<пи/2+ пи k, k(Z.
Ф-ция tg принимает отрицательные значения при
-пи/2+пи k<x<пи k, k(Z . Промежутки знакопостоянства следуют из опр-ия tg
x=sin x/cos x.
7) Ф-ция tg возрастает на всей области опр-ия т.е. на промежутках (-пи/2+пи
k; пи/2 +пи k) k(Z

Билет №11
1) Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция
y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для
вычисления площади S разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков,
длинна каждого отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков
построим прямоугольник, высота которого равна значению функции f(Xj);
площадь такого прямоугольника равна f(Xj)* ?X=f(Xj) * b-a / n. При
увеличении числа промежутков, на которые разбивается отрезок [a;b],
ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет «мало
отличатся» от криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех
прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа
показывается, что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции
y=f(x) существует число, к которому стремится сумма площадей
прямоугольников при неограниченном увеличении n(n > ?)). Это число
называют интегралом, т.е. Sn > integral (a;b) f(x) dx при n> ?
2) Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,
то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства
функции синус 1) Область определения функции синус является множество
всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу
х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая
поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет
ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение
функции синус. 2) Множеством значений функции синус является
промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения
синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет
условию –1 <= Ypx<=1, т.е. –1<=sin x<=1 3)Функция синус является
нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство
sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х
радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на –х радиан (рис
43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла
РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне
РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х
одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-
x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR,
где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса
является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R
принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности
Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет
ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом,
sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое,
кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx,
следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус.
Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом
функции синус. Пусть Т – положительный период функции синус; тогда
sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е.
sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n
принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5)
Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z.
Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z.
6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиR<x<Пи+2ПиR,
где R принадлежит Z. Функция синус принимает отрицательные значения
при Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Промежутки
знакопостоянства (рис44) следует из определения синуса. 7) Функция
синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R
принадлежит Z, и убывает на промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR],
где R принадлежит Z Докажем, что функция синус возрастает на
промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и
х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 *
sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому,
учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-
x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит,
большему значению аргумента соответствует большее значение функции,
т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу
периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на
промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8)
Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где
где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные –1, в
точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2
является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-
Пи/2; Пи/2], т.е. sinx<sinПи/2 для любого х принадлежащего [-Пи/2 ;
пи/2]. Функция синус убывает на промежутке [Пи/2; 3Пи/2], т.е. sin x <
sin Пи/2 для любого х принадлежащего [Пи/2; 3Пи/2]. Ледовательно,
х0+Пи/2 является точкой максимума (по определению), а значение sinx=1
является максимумом. В силу периодичности функции синус можно
утверждать, что в точках Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z, функция
имеет максимум, равный 1. 9) Функции арксинус дифференцируема в каждой
точке области определения; производная вычисляется по формуле (sin
x)’=cosx. (рис 45)

Билет №12
1) Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]; F-первообразная
функции. В этом случае интеграл (a;b) f(x)dx = F(b) – F(a). Пример
Вычислить : Интеграл (0;Пи)cos(2x – Пи/4) dx = Ѕsin(2x – Пи/4)|(0;Пи)=
Ѕsin(2Пи — Пи/4) – Ѕsin(-Пи/4)=Ѕsin(-Пи/4) + Ѕsin(Пи/4)=-SQR2/4 +
SQR2/4 = 0.
2) Если каждому действительному числу поставить в соответствие его
косинус, то говорят, что задана функция косинус. Свойства функции
косинус 1)D(y)=R Каждому действительному числу х соответствует
единственная точка единичной окружности Рх, получаемая поворотом точки
Р0 (1;0) на угол х радиан. Точка Рх имеет абсциссу, равную cos x.
Следовательно, для любого х определено значение функции y=cosx.
2)Множеством значений функции косинус является промежуток [-1;1], т.е.
E(y)=[-1;1]. Это следует из определения косинуса: абцисса любой точки
единичной окружности удовлетворяет условию –1<=Xpx <=1, т.е. –1<=
cosx<=1. 3)Функция косинус является чётной, т.е. для любого x ? R
выполняется равенство cos(-x)=cosx. Пусть точка Рх получина при
повороте точки Ро на х радиан, а точка Р-хполучина при повороте точки
Р0 на –х радиан(рис46). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON
– биссектриса угла РхР-х, значит, является и высокой, проведённой к
стороне РхР-х. Из этого следует, что точки Рх и Р-х имеют одну и ту же
абсциссу ON, т.е. cos(-x)=cosx. 4)Функция косинус является
периодической с периодом 2ПиR, где R-целое, кроме 0. Наименьшим
положительным периодом косинуса являеися число 2Пи. Каждому
действительному числу вида x+2ПиR, где R?Z,соответствует единственная
точка единичной окружности Рх+2ПиR, получаемая поворотом точки Р0
(1;0) на угол (x+2ПиR) радиан. Точка Рх+2ПиR имеет абсциссу, равную
cosx или cos(x+2ПиR), где R?Z. Таким образом, cosx=cos(x+2ПиR). При
R=1 имеем cosx=cos(x+2Пи), следовательно, число 2Пи является периодом
функции косинус. Покажем, что 2Пи – наименьший положительный период.
Пусть Т-положительный период косинуса; тогда cos(x+T) = cosx при любом
значении х. Это равенство должно быть верно и при х=0, т.е. cosT =
cos0=0, следовательно, cosT=0. Но cosT=0, если T=2ПиR, где R?Z.
Наименьшее положительное число вида 2ПиR есть 2Пи. 5)Функция косинус
принимает значение нуль при х=Пи/2 + ПиR, где R?Z. Решением уравнения
cosx=0 являются числа х+Пи/2+ПиR, где R?Z. 6)Функция косинус принимает
положительные значения при –Пи/2 + 2ПиR<x<Пи/2 + 2ПиR, где R?Z.
Функция косинус принимает отрицательные значения при Пи/2 +
2ПиR<x<3Пи/2 + 2ПиR, где R?Z. Промежутки знакопостоянства (рис47)
следуют из определения косинуса. 7)Функция косинус возрастает на
промежутках [-Пи + 2ПиR; 2ПиR], где R?Z, и убывает на промежутках
[2ПиR; Пи+2ПиR], где R?Z. Чтобы доказать утверждение о промежутках
возрастания функции косинус, заметим, что cosx=sin(Пи/2+х). Функция
y+sin(Пи/2 + х) возрастает, если –Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + x<=Пи/2 + 2ПиR,
где R?Z; т.е. если –Пи + 2ПиR, где R?Z; т.е. если –Пи+2ПиR<=x<=2ПиR,
где R?Z. Поскольку sin(Пи/2 + х)=cosx, функция y=cosx возрастает, если
–Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR, где R?Z. Аналогично обосновывается утверждение о
промежутках убывания функции. 8)Функция косинус имеет максимумы,
равные 1, в точках 2ПиR, где R?Z. Функция косинус имеет минимумы,
равные –1, в точках Пи+2ПиR, где R?Z. Покажем, что функция y=cosx
имеет максимумы в точках 2ПиR, где R?Z. Замечая, что cosx=sin(Пи/2 +
х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x). Её точки максимума
Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где R?Z, т.е. x=2ПиR, где R?Z. Максимум функции
косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения о точках минимума.
9)Функция косинус непрерывна на всей области определения.10) Функция
косинус дифференцируема в каждой точке области определения;
производная функции косинус вычисляется по формуле (cosx)’=-sinx.

Билет №13
1) Для того чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение ф-ции y=f(x)
имеющее на отрезке [a;b] конечное число критических точек, нужно:1. Найти
критические точки, принадлежащие отрезку[a;b] ; 2.найти значения ф-ции в
критических точках принадлежащих отрезку [a;b] ;3. Найти значение ф-ции на
концах отрезка;4. Из полученных чисел (значения ф-ции в критических точках
и на концах промежутка ) выбрать наиболее наибольшее (наименьшее) .Пример:
Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции y=x^3 –3x на отрезке [-
1,5;3] . 1)D(y)=R; 2) найдем критические точки
y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0 если 3x^2 -3=0; 3(x^2 –1)=0; x=0 или x=1. Б) точек в
к-рых производная не существует нет. 3) y(-1)=-1+3=2; y(1)=1-3=2; y-(-
1.5)=(1.5)^3-3* (-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25*.5=1.125
y(3)=27-9=18; -2<1.125<2<18
y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(3).
Min [-1,5;3] y(x)=y(1)=-2
Max [-1,5;3] y(x)=y(3)=18
2) 1.sin a+ sin b = 2 sin (a+b)/2 *cos(a-b)/2,
2. sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,
3. cos a+ cos b=2 cos (a+b)/2*cos (a-b)/2
4. cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2
1)Пусть a=x+y и b=x-y из этих равенств находим:
x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2
2) выведем ф-лы для суммы и разности синусов.
Докажем формулу 1: Воспользовавшись формулами синуса суммы и синуса
разности имеем sin a+sin b = =sin(x+y)+ sin(x-y)= sin x cos y+ sin y cos x+
sin x* cos y-sin y*cos x= 2sin x*cos y= 2 sin(a+b)/2*cos(a-b)/2. Таким
образом sin a+ sin b=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2
Докажем формулу 2:
Sin a-sin b= sin (x+y)- sin(x-y)=sin x cos y+ sin y*cos x –sin x*cos y+sin
y*cos x= 2 sin y*cos x=2 sin(a-b)/ 2 * cos(a+b)/2. Таким образом sin a-
sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,
3) выведем ф-лы для суммы и разности косинусов.
Докажем формулу 4:
Cos a- cos b=cos(x+y)-cos(x-y)=cos x* cos y-sin x* sin y-cos x*cos y-sin
x*sin y=-2sin x*sin y=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 Таким образом
cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2

Билет №14
1) Пусть задана ф-ция y=f(x) ее график изображен на рис 49. Точка х1
является точкой максимума , х2 является точкой минимума, т.е. точки х1 и х2-
точки экстремума. Значения ф-ции в точках экстремума наз-ся экстремумами ф-
ции. Например, значения ф-ции y=cos x в точках x= 2 пи k,где k ? Z, явл-ся
экстремумами (максимумами)ф-ции,т.е. Ymax=1
2) 1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;
2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b;
3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a
4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a
Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на
угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В(х1;у1)
С(х2;у2). 3) Введем векторы ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)
4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-
ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b
6) заменяя в равенстве(*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos
b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении
векторов ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cos? BOC=R^2 cos?BOC,
?BOC= a-b(см. рис. 50) или ?BOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51) cos(2 пи-(a-
b))=cos(a-b) следовательно ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из
неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin
a*sin b. Разделив левую и правую части на R^2?0 получим формулу (1)
косинуса разности
Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;
С помощью этой формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4)
синуса суммы:
Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin (-b)= cos a*cos b-sin a*sin
b значит cos(a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin
(a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin
a*cos b+cos a*sin b Значит sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a
Докажем формулу (3) Применяя последнюю формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-
b))=sin a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-
b)=sin a*cos b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы
следующие факты:1) формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos
x-четная. Из формул сложения пологая b=пи n/2, где n ?N, можно вывести
формулы привидения для преобразований выражений вида cos(пи*n/2 ±a),
sin(пи*n/2 ±a). Например cos(пи*n/2 -a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin
a=0+sin a=sin a. Аналогично выводятся следующие формулы:
Sin (пи-а)=sin a
Sin (пи+а)=-sin a
Sin (3 пи/2-а)=-cos a и т.п. Из формул сложения следуют формулы двойного
аргумента:
Sin 2a=2sin a*cos a
Cos 2a=cos^2 a-sin^2 a

Билет №15
1.Если производная функции равна 0 на некотором промежутке, то эта функция
постоянна на этом промежутке.
Если g((x)=0 на некотором промежутке то касательная к графику функции
y=g(x), например g(x)=6 в каждой точке данного промежутка параллельна оси
ОХ.

2.Если f- непрерывная и неотрицательная функция на отрезке(а;b(, то площадь
соответствующей криволинейной трапеции можно выч-ть по формуле
S=F(b)-F(a)
Док-во:
1) Пусть y=S(x) –площадь криволинейной трапеции, имеющей основание (a;x(
где x((а;b(, заметим что S(a)= 0 S(b)=S
2) Покажем что y=S(x)-первообразная ф-ция y=f(x)
т.е. S((x)=f(x) что бы найти производную ф-ции y=S(x),
воспользуемся опр-ем производной:
а) зададим преращение ?x (пусть ?x (0)
б) найдем приращение ф-ции
?S=S(x+?x)-S(x)
в) составим соотношение
?S/?x=S(x+?x)-S(x)/ ?x
г) выясним чему равен предел отношения при ?x(0Разность S(x+?x)-S(x) равна
площади криволинейной трапеции с основанием (x; x+?x(
Если ?x(0 то эта площадь приблизительно равна площади прямоугольника f(x)*
?x т.е.
S(x+?x)-S(x) (f(x) * ?x
Имеем
S(x+?x)-S(x)/ ?x (f(x)
При ?x(0. Этим показано что S((x)=f(x)
3)Равенство S((x) =f(x) означает что S- первообразная функцииf на заданном
промежутке.
3)По основному св-ву первообразной имеем F(x)=S(x)+C, где F- какая-либо
первообразная для f.
При x=a получим ,что
F(a)=S(a)+C т.е. C=F(a).
При x=b имеем
F(b)=S(b)+F(a)
Следовательно
S=S(b)=F(b)-F(a)

Билет №16
Пусть задана функция y=f(x), дифференцируемая в каждой точке промежутка I,
точки a и b принадлежат этому промежутку. На интервале (a;b) найдётся такая
точка с, для которой выполняется равенство f’(x)= f(b)-f(a)/b-a.
Геометрически этот факт можно истолковать следующим образом. Пусть функция
y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Точки a и b принадлежат
этому промежутку; через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) проведена секущая.
Тогда на интервале (a;b) найдётся такая точка с, что угловой коэффициент
касательной, проведённой через точку (с; f(c)), будет равен угловому
коэффициенту секущей АВ (рис 55).
Функция заданная формулой f(x)=x^a, называется степенной. Свойства
степенной функции при а>1 1)D(f)=[0;+(], если а не является натуральным
числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если
а натуральное число, то D(f)=(-(;+() по определению степени с натуральным
показателем. 2)E(f)=[0;+() для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где R(N. Это
следует из определения степени с рациональным показателем. E(f)=(-(;+() для
нечётных а,т.е. а=2R+1, где R(N. 3)Если а-чётное натуральное число, то
данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R =
x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является
нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+
-x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При
x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным
показателем. При нечётных а(а=2R+1, R(N), если х<0, функция принимает
отрицательные значения. Так как x^2R+1+x^2R, x^2R>0, но x<0, следовательно,
произведение x^2R x<0, т.е. f(x)<0 при x<0. 6) Функция является
возрастающей на промежутке [0;+() для любого a>1. Из свойства степени с
рациональным показателем (r-рациональное число и 0<a<b, тогда a^r<b^r при
r>0) следует, что x1^a<x2^a. Таким образом, меньшему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции, т.е. функция y=f(x) возрастает на
промежутке [0;(). Докажем, что если ф- нечётное число, то функция
возрастает и на промежутке (-(;0] (рис56б). Пусть x1<x2<0, тогда x1^a< x2^a
по определению степени с целым отрицательным показателем. Т.е. данная
функция возрастает по определению возрастающей на промежутке функции.
Аналогично можно доказать, что функция y=f(x) на промежутке (-(;0] убывает,
если а – чётное целое (рис56а).

Билет №17
Пусть задана сложная ф-ция g(x)=f(kx+b).
Если ф-ция f имеет производную в точке kx0+b, то производную ф-ции g можно
найти по формуле g((x0)=kf((kx0+b).
Например найдем производную ф-ции g(x)=(7x-9)^19
g((x)=7*19(7x-9)^18=133(7x-9)^18
2. Правило 1. Если F- первообразная ф-ции f, а G- первообразная ф-ции g,
то F+G является первообразная ф-ции f+g.
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции
F+G.
(F+G)(=F(+G(=f+g
Правило 2. Если F- первообразная ф-ции
f, а k –постоянная , то kF- первообразная ф-ции kf.
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции
kF.
(kF)(=kF(=kf
Правило 3. Если y=F(x)- первообразная ф-ции
y=f(x),а k и b- постоянные, причем k(0 то ф-ция y=1/k*f(kx+b) явл-ся
первообразной ф-ции y=f(kx+b)
Док-во: Воспользуемся опр-ием первообразной , т.е. найдем производную ф-ции
y=1/k*F(kx+b)
(1/k*F(kx+b))(=1/k*F((kx+b)*k=F((kx+b)=f(kx+b)

Билет № 18.
1.Пусть материальная точка движения по координатной прямой по закону
x=x(t), т.е. координата точки – известная ф-ия времени. За промежуток
времени ?t перемещение точки равно ?x, а средняя скорость vср=?x/?t. Если
движение таково, что при ?t(0 значение средней скорости стремится к
некоторому определённому числу, то это число называют мгновенной скоростью
(?x/?y ( vмгн, при ?t(0). Но по определению производной ?x/?y ( x’ при
?t(0. Мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой ф-ии,
описывающей перемещение точки по прямой. Чтобы найти скорость движения v,
нужно определить производную от координаты по времени, т.е. v(t)=x’(t).
Пример. Координата точки, движущейся по прямой, задана формулой x(t)=2t^2-
3t+1 (x(t) – перемещение в метрах, t- время в секундах). Найти скорость
точки в момент времени t=2c. Имеем: v(t)=x’(t)=4t-3; v(2)=4*2-3=5 (м/с).
2. Таблица первообразных элементарных ф-ий.
|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=c|
| |, n(1|n x |os |
| | | |x |
|Общий|(x^(n|-cos|Sin|
|вид |+1))/|x+C |x+C|
|перво|(n+1)| | |
|образ|+C | | |
|ных | | | |
|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y= |
| | |x |1/x|
|Общий|e^x+C|(a)/|ln |
|вид | |ln |x |
|перво| |a+C |+C |
|образ| | | |
|ных | | | |

Для доказательства воспользуемся определением первообразной.
((x^n+1))/(n+1)+C)’= (n+1)/(n+1)*x^n + C’=x^n;
(-cosx+C)’=sinx+C’=sinx;
(sinx+C)’=cosx+C’=cosx;
(e^n+C)’=e^x+C’=e^x;
((a^x)/(ln a)+C)=1/(ln a) *ln a+C’=a^x;
(ln x+C)’=(1/x)+C’=1/x

Билет №19
1.Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т,
не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения
функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется
периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду
нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R
–целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для
построения графика периодической функции достаточно построить часть графика
на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос
этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2. Если ф-ия u и v дифференцируемы в некоторой точке, то их сумма
дифференцируема в этой же точке и производная суммы равна сумме
производных: (u+v)’=u’+v’. Доказательство. Найдём производную суммы по
определению производной.
Пусть задана точка x0, ?x-приращение аргумента.
2) Вычислим приращение ф-ии:
?(u+v)=u(x0+?x)+(x0+?x)–(u(x0)+v(x0))=u(x0+?x)-u(x0)+v(x0+?x )-
v(x0)= ? u+? v.
3)Найдём отношение приращения ф-ии к приращению аргумента:
?(u+v)/?x=(?u+?v)//?x =?u //?x +?v/?x.
4) Выясним, к чему стремится разносное отношение при ?x(0
?u/?x+?v?x (u’+v’ при ?x(0

Билет №20
1)Изобразим в прямоугольной системе координат графики следующих
показательных ф-ий:y=(3/2), y=2, y=(5/2), y=3
Все графики проходят через точку M(0;1).
Проведём касательные к графикам в этой точке. Измерим углы наклона
касательных к оси абсцисс. У касательных к графикам ф-ии y=(3/2), y=2,
y(5/2) углы с положительным направлением оси Ох меньше 45(. У касательной к
графику ф-ии y=3 этот угол больше 45(. Наличие у показательной ф-ии y=e
(e=2.71828…) касательной, проведёной в точке M(0;1) и образующей с
положительным направлением оси абсцисс угол в 45, означает, что производная
в точке х0 =0 равно 1.
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Натуральный
логарифм обозначается знаком ln, т.е. log x=ln x.
2. Если производная ф-ии положительна в каждой точке интервала, то ф-ия
возрастает на этом интервале.
Доказательство: Ф-ия y= f(x) называется возрастает, если большему значению
аргумента соответствует большее значение ф-ии.
Известно, что значения дифференцируемой на интеграле ф-ии, значения
производной связываются формулой Лагранжа: если ф-ия y=f(x)
дифференцируема на некотором промежутке, точки x1 и x2 принадлежат
промежутку (x1< x2), то на интеграле (х1;х2) найдется такая точка с, для
которой выполняется равенство f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Пусть производная ф-ии принимает положительные значения на интеграле I,
т.е. f’(x)>0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому
интегралу, причём х1<х2. Сравним значения этой ф-ии в точках х1 и х2. По
формуле Лагранжда найдётся такое значения с ( (х1:х2), для которой
выполняется равенство
F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1).
Из этого условия следует, что f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1).
Заметим, что f(c)>0 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность
значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия
y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-
ии.