Алгебра и Начало анализа

1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа,
называется линейной.
2. Областью определения линейной функции служит множество R всех
действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых
значениях х.
3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения
графика, очевидно, достаточно двух точек, если k [pic]0.
4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с
положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым
коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 — тупой;
если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного
переноса графика функции y = kx.
[pic]

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х — независимая переменная, а, b
и с — некоторые числа, причем а [pic]0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0;
+ [pic]).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции [0; + [pic]).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y < 0. График функции расположен в нижней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (-
[pic]; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции (- [pic]; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой
является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы
служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы
направлены вверх, при a < 0 — вниз.
[pic]
Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость
выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной
пропорциональности.
1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных
от нуля, т. е. [pic].
2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая
из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая
кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены
в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV
координатных четвертях.
3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь
сколь угодно близко к ним приближается.
[pic]

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а — некоторое
положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = ax при а>1

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax <1;

2. Функция y = ax при 0< а <1

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0< ax <1;

е) если х < 0, то ax > 1.
[pic][pic]
№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической
функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0<x<1, то loga x < 0;

е) если x > 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0<a<1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция убывает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.
[pic]
№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего
острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
[pic]).
1. область определения — множество всех действительных чисел;
2. множество значений — [-1; 1];
3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. sin(x) = 0 при x = [pic];
6. sin(x) > 0 для всех [pic];
7. sin(x) < 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic].
[pic]
№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к
острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается
cos [pic])
1. область определения — множество всех действительных чисел;
2. множество значений — [-1; 1];
3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. cos(x) = 0 при [pic];
6. cos(x) > 0 для всех [pic];
7. cos(x) > 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic]
[pic]
№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом
(обозначается tg [pic]).
1. область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида[pic];
2. множество значений — вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. tg(x) = 0 при х = [pic];
6. tg(x) > 0 для всех [pic];
7. tg(x) < 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic].
[pic]
№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется
котангенсом (обозначается ctg [pic])
1. область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида [pic];
2. множество значений — вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. ctg(x) = 0 при x = [pic];
6. ctg(x) > 0 для всех [pic];
7. ctg(x) < 0 для всех [pic];
8. функция убывает на [pic].
[pic]
Ответ № 10
1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,
называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между
любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.
е. а2 — а1 = а3 — а2 = … = ak — ak-1 = … . Это число называется
разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать
ее первый член а1 и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то
такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то
убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все
ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной
последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и
только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является
средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
[pic](1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-
1). (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
[pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),
то получим соотношение [pic]
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an
= a2 + an-1 = …, т. е. сумма членов, равноудаленных от концов
прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а
каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,
умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого
ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =
b3:b2 = … = bn:bn-1 = bn+1:bn = … . Это число называется
знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно
знать ее первый член b1 и знаменатель q.
4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной
последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда
геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая
последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между
собой. В этом случае прогрессия является постоянной
последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и
только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
[pic], [pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),
то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn
= b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов
прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]
1. Пусть (xn) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и
[pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель
которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых
ее членов при [pic].
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда
верна формула [pic].
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

Частные случаи:
2. sin(x) = 0, x = [pic]
3. sin(x) = 1, x = [pic]
4. sin(x) = -1, x = [pic]
5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=
[pic]
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком
тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство
монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их
знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =
sin(x).

sin(x) = 0 если х = [pic];

sin(x) = -1, если x = [pic]>;

sin(x) > 0, если [pic];

sin(x) < 0, если [pic].
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:

cos(x) = 1, x = [pic];

cos(x) = 0, [pic];

cos(x) = -1, x = [pic]
3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,
cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
cos(x);
2. Важным моментом является знание, что:

cos(x) = 0, если [pic];

cos(x) = -1, если x = [pic];

cos(x) = 1, если x = [pic];

cos(x) > 0, если [pic];

cos(x) > 0, если [pic].
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:

tg(x) = 0, x = [pic];

tg(x) = 1, [pic];

tg(x) = -1, [pic].
3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,
tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
tg(x).
2. Важно знать, что:

tg(x) > 0, если [pic];

tg(x) < 0, если [pic];

Тангенс не существует, если [pic].
№ 15
1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых
значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],
[pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg
[pic].
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|Функция|Аргумент [pic] |
|[pic] | |

1. a) при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
[pic]название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс
и наоборот;

при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
[pic]название функции сохраняют;

б) считая [pic]острым углом (т. е. [pic]), перед функцией угла
[pic]ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов [pic],
[pic], [pic].
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + [pic]по абсолютной величине
равна той же функции угла [pic], если число n — четное, и дополнительной
функции, если число n — нечетное. При этом, если функция угла 90°n + [pic].
положительна, когда [pic]- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы,
если отрицательна, то различны.
№ 16
1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

[pic][pic]

Рис.1 Рис.2

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол [pic]и на угол
[pic](рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение
векторов [pic]и [pic]. Пусть координаты точки В равны х1 и y1,
координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют
соответственно и векторы [pic]и [pic]. По определению скалярного
произведения векторов:

[pic][pic][pic]= х1х2 + y1y2. (1)

Выразим скалярное произведение [pic][pic][pic]через тригонометрические
функции углов [pic]и [pic]. Из определения косинуса и синуса следует,
что

х1 = R cos [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R cos [pic], y2 = R sin
[pic].

Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1),
получим:

[pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =
R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

[pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.

Угол ВОС между векторами [pic]и [pic]может быть равен [pic]-
[pic](рис.1), [pic]- ([pic] — [pic]) (рис.2) либо может отличаться от
этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
[pic]BOC = cos ([pic] — [pic]). Поэтому

[pic][pic][pic]= R2 cos ([pic] — [pic]).

Т.к. [pic][pic][pic]равно также R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic]
sin[pic]), то

cos([pic] — [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].

cos([pic] + [pic]) = cos([pic] — (-[pic])) = cos[pic] cos(-[pic]) +
sin[pic] sin(-[pic]) = cos[pic] cos[pic] — sin[pic] sin[pic].

Значит,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] — sin[pic] sin[pic].
2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin([pic] + [pic]) = cos( [pic]/2 — ([pic] + [pic])) = cos(( [pic]/2 —
[pic]) — [pic]) = cos( [pic]/2 — [pic]) cos[pic] + sin( [pic]/2 —
[pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

sin([pic] — [pic]) = sin([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos(-[pic]) +
cos[pic] sin(-[pic]) = sin[pic] cos[pic] — cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] — [pic]) = sin[pic] cos[pic] — cos[pic] sin[pic].
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2[pic], cos 2[pic], tg 2[pic], ctg
2[pic] через тригонометрические функции угла [pic].

Положим в формулах

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] — sin[pic] sin[pic] ,

[pic],

[pic].

[pic]равным [pic]. Получим тождества:
sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];

cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 — sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;

[pic]; [pic].

№ 18

Формулы половинного аргумента
1. Выразив правую часть формулы cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через
одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к
соотношениям

cos 2[pic] = 1 — sin2 [pic], cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.

Если в данных соотношениях положить [pic]= [pic]/2, то получим:

cos [pic]= 1 — 2 sin2 [pic]/2, cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 — 1. (1)
2. Из формул (1) следует, что

[pic] (2), [pic] (3).
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

[pic] (4).
4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в
какой координатной четверти находится угол [pic]/2.
5. Полезно знать следующую формулу:

[pic].
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде
произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое
преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin [pic]+ sin [pic],
положим [pic]= x + y и [pic]= x — y и воспользуемся формулами синуса суммы
и синуса разности. Получим:

sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x — y) = sinx cosy + cosx siny +
sinx cosy — cosx siny = 2sinx cosy.

Решив теперь систему уравнений [pic]= x + y, [pic]= x — y относительно x
и y, получим х = [pic], y = [pic].

Следовательно,

sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .

Аналогичным образом выводят формулы:

sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];

cos [pic]+ cos [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;

cos [pic]+ cos [pic]= -2 sin[pic] sin [pic].
№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где
[pic], достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям
равенства прибавить [pic]. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы
получаем равносильное уравнение [pic]= [pic]- q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом:
[pic]стоит вместо x и [pic]- q — вместо m. Находим [pic]= [pic]. Отсюба х =
— [pic][pic]. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет
два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если [pic]< q . Может также
оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если
[pic]= q . Возращаемся к обычному виду [pic].

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 =
-р и х1х2 = q , то х1 и х2 — корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21
Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в
которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

Формулу [pic](где b > 0, a > 0 и a [pic]1) называют основным
логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:
1. [pic];
2. [pic];
3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

[pic].

Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x = [pic], y = [pic].

Перемножим почленно эти равенства, получаем:

xy = [pic][pic][pic]= [pic].

Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

[pic].

Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее
основания:

[pic].

При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным
логарифмическим тождеством.
№ 22
1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения
приращения [pic]функции в точке х0 к приращению [pic]аргумента, когда
последнее стремится к нулю. Это можно записать так: [pic].
2. Из определения производной следует, что функция может иметь
производную в точке х0 только в том случае, если она определена в
некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке
является непрерывность функции в этой точке.
4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно
существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))
графика, при этом угловой коэффициент касательной равен [pic]. В этом
состоит геометрический смысл производной.
5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) — это скорость
изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач
следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией
у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как
скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

[pic].
2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные
дифференцируемы в этой точке и

[pic].
3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С — постоянная, то
функция Cu дифференцируема в этой точке и

[pic].
4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна
нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в
точке х0 и

[pic].

Коллекция рефератов

Реферат-Коллекция! Только лучшие рефераты и курсовые работы.

Добавить комментарий Отменить ответ