Формулы сокращенного умножения

(а ( в)2 = а2 ( 2ав + в2
(а ( в)3 = а3 ( 3а2в + 3ав2 ( в3
а2 ( в2 = (а + в) (а ( в)
а3 + в3 = (а + в) (а2 ( ав + в2)
а3 ( в3 = (а ( в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
ам ан = ам + н
ам ( ан = ам ( н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а ( в)м = ам ( вм
а( м = 1 ( ам
ам ( н = н( ам
Корни.
н(ав =н(а н(в
н(а м(в = н м(ам вн
н(а ( в = н(а ( н(в
(н(ам)х = н(ам х
н(ам = ам/н
м(н(а = мн(а
(н(а)м = н(ам
Арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n-1 — аn = d
d – разность прогрессии
а2 = а1+ d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

аn = а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn

а n+1 / аn = q

а2 = а1 q
q — знаменатель прогрессии.
а3 = а2 q = а1 q2
аn = а1 q n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аn q — а1 = а1 (qn -1 ( q – 1)
q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 — qn)
1 — q

Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 — q

Вектора.
а = М1М2 =(х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1(

Длина вектора

(а (=((х2 — х1)2 +(у2 — у1)2 + (z2 — z1)2

Умножение вектора на число

( а = d

Скалярное произведение векторов

а в = (а ((в (cos (
cos ( = х1х2 + у1у2 + z1z2
(х12 + у12 +z12 (х22 +у22 + z22
а2 = (а (2
а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ((в, то х1 = у1 = z1
х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов
а ( в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u)( = с u(
u ( = u( v – u v(
v v2
(c)( = 0
(xn )( = n xn-1
(ax)( = ax ln a
(ех )( = ех
(sin x)( = cos x
(cos x)( = — sin x
(tg x)( = 1
cos2 x
(ctg x)( = — 1
sin2 x
(ln x)( = 1
х
(1 / х)( = — 1
х2
((х)( = 1
2 (х
(х)( = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (m n) = logа m + logа n
logа m = logа m — logа n
n
logа m n = n logа m
logа n (m = 1 logа m
n
logав = logсв
logс а

Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (( ( () = sin( cos( ( cos( sin(
cos (( ( () = cos( cos( ( sin( sin(
tg (( ( () = (tg( ( tg()
(1 + tg( tg()
ctg (( ( () = ctg( ctg( ( 1
ctg( ( ctg(

sin( + sin( = 2 sin (( + () cos (( ( ()
2. 2
sin( ( sin( = 2 cos (( + () sin (( ( ()
2. 2
cos( + cos( = 2 cos (( + () cos (( ( ()
2. 2
cos( ( cos( = ( 2 sin (( + () sin (( ( ()
2. 2
tg( ( tg( = sin (( ( ()
cos( cos(
ctg( ( ctg( = sin (( ( ()
sin( sin(
sin2( ( sin2( = cos2( ( cos2( =
sin (( + () sin (( ( ()
cos2( ( sin2( = cos2( ( sin2( =
cos (( + () cos (( ( ()
Связь между тригонометрическими функциями
sin( = ( (1 ( cos2(
sin( = tg(
( (1 + tg2(
sin( = 1
( (1 + ctg2(

cos( = ( (1 ( sin2(
cos( = 1
( (1 + tg2(
cos( = ctg(
( (1 + ctg2(

tg( = sin(
( (1 ( sin2(
tg( = ( (1 ( cos2(
cos(
tg( = 1
ctg(

ctg( = ( (1 ( sin2(
sin(
ctg( = cos(
( (1 ( cos2(
ctg( = 1
tg(
Формулы преобразования произведения
sin( sin( = cos (( ( () ( cos (( + ()
2
cos( cos( = cos (( ( () + cos (( + ()
2
sin( cos( = sin (( + () + sin (( ( ()
2
tg( tg( = tg( + tg(
ctg( + ctg(
ctg( tg( = ctg( + tg(
tg( + ctg(
ctg( ctg( = ctg( + ctg(
tg( + tg(

Формулы двойных углов

sin2( = 2 sin( cos(
sin( = 2 sin (() cos (()
cos2( = cos2( ( sin2( =
= 1 ( 2sin2( =
= 2cos2( ( 1
tg2( = 2 tg(
1 ( tg2(
= 2
ctg( ( tg(
tg( = 2 tg ((/2)
1 ( tg2 ((/2)
ctg2( = ctg2( ( 1
2 ctg(
= ctg( ( tg(
2
ctg( = ctg2 ((/2) ( 1
2 ctg ((/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + (n

cos x = a
x = ( arkcos a + 2(n

tg x = a
x = arktg a + (n

ctg x = a
x = arkctg a + (n

Формулы приведения

sin (( /2 ( () = + cos(
sin (( /2 + () = + cos(
sin (( ( () = + sin(
sin (( + () = ( sin(
sin (3(/2 ( () = ( cos(
sin (3( /2 + () = ( cos(
sin (2( ( () = ( sin(
sin (2( + () = + sin(
—————-
cos ((/2 ( () = + sin(
cos ((/2 + () = ( sin(
cos (( ( () = ( cos(
cos (( + () = ( cos(
cos (3(/2 ( () = ( sin(
cos (3(/2 + () = + sin(
cos (2( ( () = + cos(
cos (2( + () = + cos(
——————
tg ((/2 ( () = + ctg(
tg ((/2 + () = ( ctg(
tg (( ( () = ( tg(
tg (( + () = + tg(
tg (3(/2 ( () = + ctg(
tg (3(/2 + () = ( ctg(
tg (2( ( () = ( tg(
tg (2( + () = + tg(
————-
ctg ((/2 ( () = + tg(
ctg ((/2 + () = ( tg(
ctg (( ( () = ( ctg(
ctg (( + () = + ctg(
ctg (3(/2 ( () = + tg(
ctg ((/2 + () = ( tg(
ctg (2( ( () = ( ctg(
ctg (2( + () = + ctg(
sin (( () = ( sin(
cos (( () = cos(
tg (( () = ( tg(

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2
a = c sin(
a = b tg(
b = c cos(
теорема синусов:
a = b = c
sin( sin( sin(
теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 ( 2 bc cos(
S = Ѕ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = Ѕ d1 d2 sin(,
d1 и d2 — диагонали
( — угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sin(
S = Ѕ d1 d2 sin(

Трапеция

S = a + b h = Ѕ d1 d2 sin(
2
Круг
S = l r = ( r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = Ѕ ah = Ѕ ab sin(
Формула Герона:
S = ( p (p ( a) (p ( b) (p ( c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = Ѕ r P
где Р – периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2(r
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sin( = ah = Ѕ dD
где d — малая диагональ
D — большая диагональ
Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3
Призма
V = Sосн h = S(сеч l
l — грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = ( r2 h = 1/4( d2 h
r — радиус основания
d — диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 ( r2 h
Шар
V = 4/3 ( r3

Площади поверхностей

Призма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = S(сеч l
p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Ѕ Pосн h
h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sосн cos(
( — угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн
Sбок = 2( rh
Sосн = 2(r (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = (rl
Sосн = (r (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 (r2

Значения углов

( 0 (/6 (/4 (/3 (/2 (
sin 0 Ѕ (2/2 (3/2 1 0
cos 1 (3/2 (2/2 Ѕ 0 -1
tg 0 1/(3 1 (3 — 0
ctg — (3 1 1/(3 0 —

[pic]