Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся
значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких
значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой
аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x)
можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к f(x),
позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку
погрешность такой замены.

?(х)- аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется
построить аппроксимирующюю функцию ((x) совпадающую в узлах с xi c
заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с
помощью многочлена, имеющего общий вид
((x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0 , так как
задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо
выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены
специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

[pic] i(j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не
совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y
в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом (х=4,1
начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-
1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

CLS

DIM Y(9)

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N — 1

1 X(I) = X0 + H * I

READ Y(I)

PRINT Y(I); X(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N — 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

S2 = S2 + X(I)

S3 = S3 + X(I) * Y(I)

S4 = S4 + Y(I)

NEXT I

D = S1 * N — S2 ^ 2

D1 = S3 * N — S4 * S2

D0 = S1 * S4 — S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT «A0=»; A0, «A1=»; A1, «YC=»; YC

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

END

XC= 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде
функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в
виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,…n, где n — общее
количество точек. Как правило, эти табличные данные получены
экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить
относительно простую функциональную зависимость (например, полином),
которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, получить
промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не
содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной
точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием
точности или достаточно «хорошего» приближения могут служить несколько
условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для
x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
S = [pic](fi-yi) > min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых
x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные
знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия S = [pic]|fi-yi| > min , также не приемлемо,
т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е.
определяют такую функциональную зависимость, при которой

S = (fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+…+CMXM. (2)
Формула (1) примет вид S = [pic]( C0 + C1Xi + C2Xi2+…+CMXiM — Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S
по независимым переменным С0,С1,…СМ :
SC0 = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+…+CM[pic]XiM — Yi ) = 0 ,
SC1 = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+…+CM[pic]XiM — yi ) Xi = 0 ,
………………………………………………………………….
………………… (3)
SCM = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+…+CM[pic]XiM — Yi ) XiM = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0 [pic] (N+1) + C1[pic] Xi + C2[pic]Xi2 +…+ CM [pic]XiM = [pic]Yi ,
C0[pic]Xi + C1[pic]Xi2 + C2[pic]Xi3 +…+ CM[pic]XiM+1 = [pic]Yi Xi ,
………………………………………………………………….
……………………… (4)
C0[pic]XiM + C1[pic]XiM+1 + C2[pic]XiM+2 +…+ CM[pic]Xi2M =[pic] Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2)
необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы
(4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно
определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
| |(N+1) |[pic]Xi |[pic]Xi2 |.|[pic]XiM |[pic]Yi | |
| | | | |.| | | |
| | | | |.| | | |
| |Xi |[pic]Xi2 |[pic]Xi3 |.|[pic]XiM+1|[pic]Yi Xi| |
| | | | |.| | | |
| | | | |.| | | |
| |… |… |… |.|… |… | |
| | | | |.| | | |
| | | | |.| | | |
| |XiM |[pic]XiM+1|[pic]XiM+2|.|[pic]Xi2M |[pic]Yi | |
| | | | |.| |XiM | |
| | | | |.| | | |

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно
вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов,
остальные элементы не являются «оригинальными» и заполняются с помощью
циклического присвоения.
Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77,
-1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить
интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS

¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

¦DIM Y(9): DIM X(9)

¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

¦FOR I = 0 TO N — 1

¦X = X0 + H * I:

¦X(I) = X

¦READ Y(I)

¦PRINT X(I), Y(I)

¦NEXT I

¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

¦I = 0

¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:

¦S2 = S2 + X(I):

¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):

¦S4 = S4 + Y(I)

¦I = I + 1

¦IF I <= N — 1 THEN 10

¦D = S1 * N — S2 ^ 2:
¦D1 = S3 * N — S2 * S4:

¦D0 = S1 * S4 — S2 * S3

¦A1 = D1 / D:

¦A0 = D0 / D

¦Y = A1 * XC + A0

¦PRINT TAB(2); «КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=»; A0,

¦PRINT TAB(2); «КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1=»; A1,

¦PRINT TAB(2); «ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=»; Y

¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10

¦Y = A1 * X + AO

¦PRINT X, Y

¦NEXT X

¦FOR I = 1 TO N — 1

¦S = S + Y(I): NEXT I

¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N — 1) + 2 * S)

¦PRINT «ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D=»; D

Ответы

Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
10 5.007687
20 10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725
————————
[pic]

?(х)

i ( n

i ( n

i = j

Конец

Вывод S, xc

i = i +1

S = S + yi*P

j = j+1

[pic]

j = 0

P = 1

i = 0

S = 0

i = i+1

xi = x0 + h*i

Ввод yi

j ( n

I=0

Ввод х0, h, xc, n

Начало

да

нет

нет

да

d = h/2*(y0 +yn+2S)

i = i+1

S=S+yi

i = 0

S = 0

i ( n-1

да

Yc=a1xc+a0

a1=d1/d, a0= d0/d

d0=S1S4-S2S3

S4=S4+yi

S3=S3+xiyi

S2=S2 +xi

i ( m-1

Конец

Вывод xca0, a1,d,y

d1=S3m-S2S4

d = S1m –S22

i = i+1

S1=S1*xi2

i = 0

S1 = 0, S2=0, S3=0, S4=0

i = i+1

xi = x0 + h*i

Ввод yi

i ( m-1

I=0

Ввод х0, h, xc, m

Начало

да

нет

нет

да

ГСА Программы аппроксимации и вычисления интеграла методом трапеции.