Диспут

Формула Кардано

Мостового
Кирилла

г. Одесса
1999г

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище,
привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили
разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой
понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств
было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми.
Спорили обо всем. Например, о том , приобщать ли мышь к духу святому, если
съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса
Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т.
д.
О споре, который должен был произойти между прославленным математиком
и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки,
так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул
другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались
на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с
нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было
посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.
Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа
бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с
алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры,
предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая
никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной
решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа,
появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил:
«Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый
математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть
математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в
том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения
уравнения 3-Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на
диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари.
Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры».
На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и
курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек
двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его
манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест
и каждое его слово будут приняты с восторгом.
Начал Тарталья.
— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти
способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом,
одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего
согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы
выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед
прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла
книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно
выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его
ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было
предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения
задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач,
которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с
курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я
получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало
мне основание вызвать обоих на публичный диспут.
Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью,
произнес:
— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же
словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес
моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли
доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам
несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь,
если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с
нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в
открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а
моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и
удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты
человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое
прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не
может считаться для него недостижимым.»
— Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не
верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения,
если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом
уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья
хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание,
почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его
для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой
учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным.
Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере
на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой
учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он
добивается диспутом?
— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не
отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и
красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое
доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не
правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение
из числа решавшихся. Оно, как известно …
В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание
фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа,
требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена
Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно,
поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь.
Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.
…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и
новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-
й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано
выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу,
представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой
Кардано, то это — историческая несправедливость. Однако, несправедливость
ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может
быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно,
а может быть это останется тайной …

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной
символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих
в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0 (1)

Если положить

[pic] , то мы приведем уравнение (1) к виду
[pic] (2)

где [pic] ,
[pic] .

Введем новое неизвестное U с помощью равенства
[pic].
Внося это выражение в (2), получим
[pic] (3)
Отсюда
[pic] ,
следовательно
[pic]
Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение
[pic] и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается
симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

[pic].
(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p
).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то
получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в
математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари
находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ
в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
Пусть [pic] (1)
– общее уравнение 4-й степени.
Если положить [pic],
то уравнение (1) можно привести к виду
[pic], (2)
где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть,
что это уравнение можно записать в таком виде:
[pic] (3)
В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие
t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).
Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным
квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием
этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена
(относительно y), стоящего справа:
[pic] (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем
какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
[pic].

Отсюда
[pic].
Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а
следовательно и (1).
За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он
напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его
сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его
собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября
1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в
ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом
случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения[pic] в вещественной области.
Итак,
[pic]
При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а
затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в
вещественной области, если [pic]. Два значения квадратного корня,
отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения
кубического корня в вещественной области единственно и получается
единственный вещественный корень x при [pic]. Исследуя график кубического
трехчлена [pic],нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный
вещественный корень при [pic]. При [pic] имеется три вещественных корня.
При [pic] имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при [pic]
-трехкратный корень x=0.
Продолжим исследование формулы при [pic]. Оказывается. Что если при
этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при
вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности.
Например, уравнение [pic] имеет единственный корень (вещественный) – x=1.
Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение
[pic].
Значит,
[pic]. Но фактически любое доказательство предполагает
использование того, что это выражение является корнем уравнения [pic]. Если
же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые
кубические радикалы.
О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения
кубического уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали
называть формулой Кардано.
У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в
ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих
было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть
дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических
исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века
сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц:
«Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы
совершенством».