Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция
(АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен
элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.
Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания
или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел,
операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка
,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов,
операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного
пространства.
Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни
будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают
операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из
них.
Свойство ассоциативности
[pic]
(1)
Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за
исключением операции вычитания и операции векторного произведения.
Из свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей
однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении
расставлены скобки, например
[pic]
Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.
Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого
элемента с натуральным показателем. А именно:
[pic] (n сомножителей).
При этом выполняются обычные правила действий со степенями:
[pic] , [pic]
Свойство коммутативности
[pic] [pic]
(2)
Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для
умножения матриц и композиции перестановок.
Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО
мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении
любого их числа.
Кроме того, в этом случае [pic]
Наличие нейтрального элемента
[pic] [pic]
(3)
Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).
Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции
умножения — число единица. Для умножения матриц нейтральным элементом
будет единичная матрица, для композиции перестановок — тождественная
перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент
отсутствует.
Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности,
то есть элемент n не зависит от выбора x.
В случае существования единственного нейтрального элемента и
ассоциативности операции можно определить степень с нулевым показателем:
[pic] для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом
сохраняются.
Наличие обратного элемента
Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции
(*).
Элемент [pic] называется обратным для элемента x, если
[pic]
(4)
Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен
противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и
существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный
элемент равен обратной матрице и существует в том случае, если эта матрица
невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.
Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия
(4) сразу вытекает, что элемент [pic] всегда обратим и обратным для него
будет исходный элемент x. Кроме того в случае ассоциативной операции
произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при
этом [pic]. В самом деле: [pic] и аналогично
[pic]
Если элемент [pic] определен однозначно, можно определить степени x с
отрицательным целым показателем, а именно:
[pic] , где m=1,2,… . При этом сохраняются обычные правила действий со
степенями.
Замечание
В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего
обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и
называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о
мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно
как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина
«обратный» используется термин «противоположный элемент», который,
естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его
кратных (nx).

Понятие группы

Определение
Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой
(G,*), если выполняются условия:
1. Операция (*) ассоциативна.
2. Для операции существует нейтральный элемент.
3. Все элементы G обратимы.
Примеры групп
1. R — группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная
группа действительных чисел)
2. C — аддитивная группа комплексных чисел.
3. [pic]- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения (
мультипликативная группа действительных чисел)
4. [pic]- мультипликативная группа комплексных чисел.
5. [pic] — группа невырожденных матриц порядка n с действительными
элементами. (Аналогично, [pic])
6. [pic]- группа перестановок множества 1,2, …, n.
Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.
Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие
свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках
считается, что x, y, z, … — элементы некоторой группы G.
1. Закон сокращения
[pic] (левое сокращение)
[pic] (правое сокращение)
Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного
элемента [pic]и свойство ассоциативности операции.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
y=z.
2. Единственность нейтрального элемента
В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если
[pic]и [pic] оба являются нейтральными, то по определению
[pic] и в то же время [pic], откуда [pic]. Единственный нейтральный
элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться [pic] или просто e.
3. Единственность обратного элемента
Для каждого элемента x обратный элемент [pic] определен однозначно. В самом
деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e,
откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.
4. Признак нейтрального элемента

[pic]
Действительно, поскольку [pic], имеем [pic] , откуда по закону сокращения
получаем [pic].
5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной
операции)
[pic] . Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от
деления y на x).
Имеем: [pic] и значит можно взять [pic]. Однозначность следует из закона
сокращения: [pic].
Понятие подгруппы
Определение
Группа [pic] называется подгруппой группы [pic], если, во первых
[pic] (как подмножество) и, во-вторых,
[pic] (то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем
множестве G.)
Тот факт, что [pic] является подгруппой в [pic] обозначается с помощью
символа включения: [pic] или просто [pic].
Примеры подгрупп.
1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R,
которая, в свою очередь является подгруппой группы C.
2. Четные перестановки образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех
перестановок.
3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех
невырожденных матриц.
Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо,
очевидно, проверить следующие условия :
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic].
Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.
Признак подгруппы
Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и
только тогда, когда:
[pic]. (5)
Доказательство.
Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв
в (5) y=x, получим: [pic], то есть выполнено второе условие. Теперь
возьмем [pic], тогда получим: [pic] и таким образом условие 3. также
выполнено. Наконец, взяв в условии (5) [pic], получим [pic], то есть
условие 1.