§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его
помощью выражают зависимости между различными переменными величинами.
Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет
содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть [pic]- некоторое числовое множество, и пусть каждому
элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic]. Тогда говорят,
что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают
некоторым символом, например [pic], и пишут
[pic]. (1)
Множество [pic] называется областью определения функции [pic], [pic]
— ее аргументом, а [pic] — значением функции в точке [pic].
Используются также обозначения: [pic] для области определения и [pic]
для множества значений функции.
Графиком функции [pic] называется множество всех точек
координатной плоскости вида [pic], где [pic]. График дает наглядное
представление о поведении функции, однако более удобным в
теоретических исследованиях является аналитический способ задания
функций с помощью формул. На практике используют также табличный
способ, когда значения функции указываются для отдельных значений
аргумента.
В качестве области определения функции могут выступать различные
числовые множества, например:
а) отрезок [pic];
б) интервал [pic];
в) полуинтервалы [pic] или [pic];
г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic];
д) множество всех действительных чисел R =[pic].
Под областью определения функции, заданной формулой, понимают
обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула
имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции [pic] область определения и множество
значений

имеют вид: [pic], [pic]; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.
2) Для функции [pic]имеем [pic], [pic]; график функции
изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции [pic] имеем: [pic],
[pic]; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций,
известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем
аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее
график.

а) Линейная функция:
[pic]R,
где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с
угловым коэффициен-
том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):

Рис.4.

б) Квадратичная функция:
[pic]R,

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] — постоянные коэффициенты; график – парабола,
ее расположение существенно зависит от величины
[pic],
называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента
[pic]:

в) Обратно пропорциональная зависимость:

[pic],
где [pic] — постоянная. График – гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция:
[pic],
где [pic] и [pic] — постоянные; область определения существенно
зависит от [pic]. В п. в) рассмотрен случай [pic], а в примере 1 —
случай [pic]. Приведем еще графики функций для [pic] и [pic]:

Рис. 7.

е) Показательная функция:
[pic]R,
где [pic] — постоянная; график в зависимости от значения [pic] имеет
вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая,
тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными
элементарными функциями.
3. Сложная функция

Пусть заданы функции [pic] и [pic], причем множество значений
функции [pic] принадлежит области определения функции [pic]: [pic].
Тогда можно определить сложную функцию
[pic],
называемую также композицией функций [pic] и [pic].

Пример. Из функций [pic] и [pic] с помощью указанной операции
можно составить две сложные функции: [pic]и [pic].

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных
функций, получать новые функции, также называемые элементарными.
Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить
из основных элементарных функций с помощью конечного числа
арифметических операций и композиций.

Пример. Функция [pic] (читается: “модуль [pic]”) является
элементарной, так как для всех [pic]R справедливо представление [pic].
График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию [pic] с областью определения [pic] и
множеством значений [pic]. Предположим, что для любого [pic] уравнение
[pic] имеет единственное решение[pic]. Тогда на множестве [pic] можно
определить функцию, сопоставляющую каждому [pic] такое значение [pic],
что [pic]. Эту функцию называют обратной для функции [pic] и
обозначают [pic]:
[pic].
Функцию, у которой существует обратная функция, назовем
обратимой.
Обозначая, как обычно, аргумент функции через [pic], а значение
функции через [pic], можно записать
[pic].
Поскольку взаимная перестановка переменных [pic] и [pic] равносильна
переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции
[pic] симметричен графику функции [pic] относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой
[pic]).

Примеры. 1) Для линейной функции [pic] обратная функция также
линейна и имеет вид [pic]. Меняя местами [pic] и [pic], получаем
[pic]. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции [pic], [pic], множество значений имеет вид [pic].
Для каждого [pic] уравнение [pic] имеет единственное решение [pic].
Поменяв местами [pic] и [pic], получим [pic], [pic]. Графики функций
приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции [pic] является
логарифмическая функция [pic]. На рис. 12 представлены графики
функций [pic] и [pic] .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18) [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22) [pic].

2. Построить графики функций:
1) [pic],
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic],
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic].

3. Найти функции обратные к функции [pic], указать их области
определения и построить графики:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic].

Ответы
1.
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic] R;
6) [pic] R;
7) [pic];
8); [pic]
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic] R;
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18) [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22)[pic].
.
3.
1) [pic], [pic]R;
2) [pic], [pic] R;
3)[pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic], [pic];
7) [pic], [pic];
8) [pic];
9) [pic], [pic];
10) [pic], [pic] R.

————————

[pic]