Министерство Общего и Профессионального Образования РФ
Пермский государственный технический университет
Кафедра математического моделирования систем и процессов

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к выпускной работе
на степень бакалавра математических наук

Математическое моделирование полета лыжника
при прыжке с трамплина

Выполнил студент группы ММ-93 Подгаец А.Р.
Научный руководитель — профессор кафедры теоретической
механики ПГТУ, кандидат физико-
математических наук Р.Н.Рудаков

Пермь 1997
Оглавление
|1. Введение |3 |
|1.1. Обзор литературы |5 |
|2. Концептуальная постановка задачи |8 |
|2.1. Геометрические элементы трамплинов |8 |
|2.2. Собственно концептуальная постановка |9 |
|3. Математическая постановка задачи |11 |
|3.1. Предположения |11 |
|3.2 Уравнения движения | |
|4. Обтекание трамплинной горы потоком воздуха | |
|4.1. Концептуальная постановка задачи | |
|4.2. Математическая постановка | |
|4.3. Численное решение | |
|4.4. Результаты | |
|4.1. Выводы по главе | |
|5. Решение основной задачи | |
|5.4. Исследование решения | |
|4.5. Анализ результатов | |
|4.6. Выводы по главе | |
|6. Заключение | |

1. Введение

«Достижения лыжников-прыгунов на состязаниях любого
ранга, будь то всесоюзные или международные соревнования,
первенства мира или олимпийские игры,предопределены всей
историей прыжков на лыжах — творческим трудом ученых,
тренеров, самих спортсменов. Неоднократное низвержение
«законодателей стиля», устоявшихся взглядов на «каноны»
техники всегда знаменовало собой «новый» этап, который тут
же становился «пройденным», в развитии спорта. …
Постоянное усовершенствование спортивной техники,
модернизация спортивных сооружений (профилей трамплинов) —
вот основные условия высоких достижений в прыжках на
лыжах.»
(Грозин Е. А., «Прыжки с трамлина»)

Этот вид спорта — прыжки на лыжах с трамплина — появился на свете в
конце XIX века в Скандинавских странах и на севере России. Это один из
«молодых» видов спорта, рожденных уже в эру научно-технической революции.
Нельзя не заметить и то, что состязания прыгунов представляют смертельную
угрозу для новичка. Кроме того, прыжки на лыжах с трамплина связаны не
только с силой мускулов, реакцией и удачей, но и с тонким расчетом,
основанным на знании физических законов природы и возможностей человека.
Учитывая все это, можно ожидать, что этот вид спорта будет нуждаться в
поддержке со стороны науки.
Первые работы, посвященные прыжкам на лыжах относятся к 1924 году. Их
автор — норвежец Р. Штрауман — и прыгун Тулин Тамс известны в спортивном
мире, как создатели «норвежского стиля» прыжков с трамплина. Этот год
ознаменовал приход на спортивный Олимп норвежских прыгунов, которые
занимали призовые места чуть ли не до середины 50-х годов. К 1954 году
относится следующая научных изысканий, результатом которых стал «финский
стиль», впервые продемострированный на Олимпийских играх прыгуном Тауно
Луиро. К концу 50-х относятся работы советских ученых Андреева В.А.,
Ниремберга Г.Р., Химичева М.А. и Нагорного В.Э. и таких прыгунов как Н.
Каменский, К. Цакадзе, Н. Шамов. В начале 60-х спортивные победы достаются
спортсменам из ГДР, за которыми несомненно тоже стоит коллектив тренеров и
ученых. К 1969 году относится феноменальное событие в истории прыжков на
лыжах с трамплина. Во время соревнований «Неделя полетов» в г. Планица
(Югославия) предыдущий мировой рекорд — 141 метр — был побит шесть раз.
Новым мировым рекордом стал прыжок на 165 метров.
Этот успех всколыхнул волну новых научных исследований во всех странах.
В конце 80-х — начале 90-х годов на спортивной арене появился V-стиль, с
которым связаны новые успехи и достижения.
Каждый стиль — это своя техника прыжка, опирающаяся на научный опыт.
Хочется надеяться, что данная работа послужит если не еще одной ступенькой
в этом восхождении, то хотя бы заделом для будущей работы, принесущей
реально значимые для российских спортсменов плоды.
1.1. Обзор литературы
Как и было сказано выше, данная работа, конечно же, не является первой
в области моделирования прыжков. Более того, она во многом опирается на
опыт наших предшественников.
В своей книге «Прыжки с трамлина» [1], вышедшей в 1971 году, Е.А.Грозин
рассматривает последовательно все стадии прыжка: разгон, полет и
приземление. В работе детально рассмотрен сам полет, составлена
математическая модель, использующая коэффициенты аэродинамического
сопротивления, полученные из экспериментов в аэродинамической трубе, и
кинограммы прыжков. Разобраны различные техники прыжка, популярные в 50-е,
60-е годы и показано превосходство вторых над первыми. Автор рассматривает
также разгон и приземление, но комплексного исследования не проводит, то
есть, например, при анализе приземления не учитывается посадочная скорость,
которая обусловлена всем предыдущим движением лыжника. Указаны лишь
очевидные границы для нее и способы гашения. В работе есть место и
математическим выкладкам, и практическим советам. Несомненно, эта книга
была способна принести много пользы прыгунам — и действительно принесла.
Положительной стороной книги является рассмотрение всех стадий прыжка, что
у нас присутствует пока только в планах на будущее.
Вопросам моделирования прыжка с трамплина посвящены работы Л.П.Ремизова
[2,3]. Первая из них, опубликованная в советском журнале «Теория и практика
физической культуры» в 1973 году, создает впечатление то ли выборки, то ли
предварительных результатов для второй работы, опубликованной десятилетием
позже в международном журнале по биомеханике. Отличие разительное: 2
страницы — и полномасштабное исследование, включающее в себя и эти 2
страницы. Обе статьи посвящены нахождению оптимальной траектории полета
лыжника-прыгуна при помощи принципа максимума Понтрягина. Склон горы
приземления задан некоторой функцией, так же как и коэффициенты
аэродинамического сопротивления, и задача решается в такой обобщенной
постановке почти до конца. Естественно, что аналитическое решение
поставленной задачи найти очень трудно, и для каждого вида функций задача
решается численно. В обеих статьях используются коэффициенты
аэродинамического сопротивления, полученные Грозиным в 1971 году, то есть
эти работы также проведены для давно устаревших способов прыжка. Их
результатом явился вывод, что угол атаки прыгуна должен не оставаться
постоянным, как считалось ранее, а медленно возрастать в полете. Сейчас мы
видим плоды этого и других подобных исследований в инструкциях по прыжкам с
трамплина, где сказано, что прыгун должен постепенно распрямляться и
поднимать лыжи. Таким образом, данная работа является намеком на
необходимость проведения такого же исследования для современных способов
прыжка.
Наконец, в последнюю очередь кратко остановимся на совсем новой статье
[4], опубликованной в 1997 году в журнале «Теория и практика физической
культуры» несколькими авторами из города Великие Луки. Один из них, будучи
математиком, демонстрирует оригинальный математический метод расчета
дальности прыжка с привлечением теории функций комплексного переменного. В
конце статьи выведена формула, позволяющая легко вычислять дальность
прыжка, основываясь на данных о прыгуне, трамплине и ветре. Цель поставлена
благая: дать тренеру и конструктору возможность легко рассчитывать
дальность прыжка, не вдаваясь в физические сложности. Однако в этой работе
допущена ошибка при записи уравнений движения — неверно учтена скорость
ветра. Не исследуется зависимость аэродинамических коэффициентов от угла
атаки и сами коэффициенты, взятые из [1], соответствуют старым способам
прыжка. Угол вылета прыгуна положителен, в то время как таких трамплинов не
делают по меньшей мере уже тридцать лет. Также скорость ветра считается
постоянной по модулю и направлению в любой точке траектории лыжника.
Во всех рассмотренных работах не анализируется посадочная скорость
лыжника, а между тем травмы в этом виде спорта случаются не только при
приземлении «вверх тормашками», но и при казалось бы нормальной посадке.
Также ни в одной работе не учтено влияние ветра в окрестностях трамплинной
горы.
2. Концептуальная постановка задачи
2.1. Геометрические элементы трамплинов
Трамплины создаются под определенную дальность полета прыгунов, которую
вычисляют как расстояние от точки старта до точки приземления по склону.
Трамплины делятся по дальности на 5 категорий:
маленькие трамплины 20-45 м
средние трамплины 50-70 м
нормальные трамплины 75-90 м
большие трамплины 105-120 м
трамплины для полетов 145-185 м
Соревнования в России проводятся, как правило, на больших трамплинах, а
международные соревнования — на трамплинах для полетов. Для того, чтобы
лыжник, идущий на рекорд, не разбился, улетев за пределы склона приземления
или недолетев до него, существуют специальные формулы и нормы для расчета
геометрических параметров трамплинов.
[pic]

Рис. 1. Основные геометрические элементы трамплина

Трамплин состоит из участка для разгона и так называемого стола отрыва,
с которого лыжники уходят в свободный полет. Стол отрыва наклонен к
горизонтали под небольшим отрицательным углом, обычно от -6О до -12О. Здесь
собственно трамплин заканчивается, а все, что дальше, называется горой
приземления или трамплинной горой. Высота стола отрыва над склоном горы
приземления обычно обозначается [pic] и составляет от 2% до 4% от
максимальной дальности, обозначаемой [pic]. Трамплинная гора состоит из
трех участков: участка необработанного склона длиной [pic] и шириной [pic],
участка приземления — прямого участка склона, составляющего с горизонталью
отрицательный угол [pic], равный согласно принятым нормам от -25О до -40О,
и участка торможения. Участок торможения как правило имеет профиль, плавно
закругляющийся вверх. Расстояние по горизонтали от канта отрыва — крайней
точки стола отрыва — до точки максимальной дальности обозначается [pic].
Этой буквой обозначается также критическая точка — конец участка
приземления.
2.2. Собственно концептуальная постановка
Кратко цель данной работы звучит так: «как прыгнуть, чтобы улететь
подальше и не разбиться?» Изменяя свою позицию во время отрыва,
относительное положение ног, рук и корпуса, атлет может контролировать
траекторию своего полета в воздухе, управляя углом атаки. Задача
формулируется следующим образом: как должен лыжник управлять своим телом,
чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно, и при этом иметь
приемлемую посадочную скорость.
Если старт и полет проходят нормально, то практически невозможно
приземлиться раньше начала склона приземления. Но существует другая
опасность. Лыжник оканчивает полет с большой скоростью, которую необходимо
погасить. Для этого существует слегка закругляющийся участок торможения. Но
если прыгун перелетает критическую точку, то он серьезно рискует, так как
дальше склон закругляется вверх, и угол, под которым его траектория
подходит к склону, будет составлять уже не 5-10О, а значительно больше.
Поэтому приземление ральше или позже специально созданного для этого
участка приземления в первом случае невозможно, а во втором — недопустимо.
Параллельная склону составляющая скорости гасится при дальнейшем движении
лыжника по зкругленному склону. Наибольшую опасность при приземлении
представляет собой составляющая скорости, перпендикулярная склону, так как
при слишком большой нормальной скорости кроме больших ударных нагрузок
также есть риск упасть — при том, что в момент приземления лыжник имеет
скорость в несколько десятков км/ч. Поэтому нормальная к склону
составляющая посадочной скорости не должна превышать 7 м/с, а
желательно должна составлять 3-5 м/с.

3. Математическая постановка задачи
3.1. Предположения
Ось абсцисс направлена в сторону полета лыжников параллельно горизонту,
ось ординат — вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва.
Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината
критической точки [pic] — конца участка приземления — равны нулю. Если нет
бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в
вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как
двухмерную.
Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на
которые влияют следующие факторы:
. кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси,
перпендирулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс
системы, в момент отрыва и в полете;
. изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;
. различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением
различных частей тела вследствие работы мышц.
Результаты многих исследований кинограмм [1, 5] доказывают
относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает
описание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяет
использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в
аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о
неизменности позы лыжника в полете.
Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку,
собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно
0.3 с, вторая —