[pic]
Кафедра математической статистики и эконометрики

Расчетная работа №1
По курсу:
“Математическая статистика”

по теме:

“Оценивание параметров
и проверка гипотез
о нормальном распределении”

Группа: ДИ 202
Студент: Шеломанов Р.Б.

Руководитель: Кацман В.Е.

Москва 1999

Содержание

ЗАДАНИЕ № 23 3
Построение интервального вариационного ряда распределения 3
Вычисление выборочных характеристик распределения 4
Графическое изображение вариационных рядов 5
Расчет теоретической нормальной кривой распределения 6
Проверка гипотез о нормальном законе распределения 7

ЗАДАНИЕ № 23
Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:

|750 |750 |756 |769 |757 |767 |760 |743 |745 |759 |
|750 |750 |739 |751 |746 |758 |750 |758 |753 |747 |
|751 |762 |748 |750 |752 |763 |739 |744 |764 |755 |
|751 |750 |733 |752 |750 |763 |749 |754 |745 |747 |
|762 |751 |738 |766 |757 |769 |739 |746 |750 |753 |
|738 |735 |760 |738 |747 |752 |747 |750 |746 |748 |
|742 |742 |758 |751 |752 |762 |740 |753 |758 |754 |
|737 |743 |748 |747 |754 |754 |750 |753 |754 |760 |
|740 |756 |741 |752 |747 |749 |745 |757 |755 |764 |
|756 |764 |751 |759 |754 |745 |752 |755 |765 |762 |

По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;

Построение интервального вариационного ряда распределения
Max: 769
Min: 733
R=769-733=36
H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712
A1= x min — h/2=730,644
B1=A1+h; B2=A2+h

2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:
среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4),
дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты
асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент
вариации(Vs);

2. Вычисление выборочных характеристик распределения

(i=(xi- xср)
xср =( xi mi/( mi
xср = 751,7539

Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов

Выборочный центральный момент К-го порядка равен

M k = ( xi — x)^k mi/ mi

В нашем примере:
|Центр момент 1 |0,00 |
|Центр момент 2 |63,94 |
|Центр момент 3 |-2,85 |
|Центр момент 4 |12123,0|
| |3 |

Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S^2= 63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S= 7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
Ac = m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek = m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek = -0,03442
Медиана Ме — значение признака x (e), приходящееся на середину
ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений(
n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений,
расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1)
/2
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле
Me= a me +h * ( n/2 — mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) — интервала,
редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака ,
которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по
формуле
Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) — m( mo+1)
где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей
частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за
ним интервалов.
В нашем примере:
Mo = 751,49476
Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания
предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%
В нашем примере:
Vs= 1,06%

3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.

Графическое изображение вариационных рядов

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления
положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S)
вариационные ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и
интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных
рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения
(интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h,
заполнив таблицу 1.4.

Интервалы xi Wi Whi Wi/h

Ai-bi
1 2 3 4
5
4,97-5,08 5,03 0,02 0.02
0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05
0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17
1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36
1,73
5,41-5,52 5,47 0,29 0,65
2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83
1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96
1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00
0,36
| — |
|1,00 — |

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси
абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим
прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного
| i-го | |Mi |T1 |T2 |1/2Ф(T|1/2Ф(T2|Pi |
|интерв| | | | |1) |) | |
|ала. | | | | | | | |
|Тогда | | | | | | | |
|высота| | | | | | | |
|элемен| | | | | | | |
|тарног| | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|прямоу| | | | | | | |
|гольни| | | | | | | |
|ка | | | | | | | |
|должна| | | | | | | |
|быть | | | | | | | |
|равна | | | | | | | |
|Wi/h,.| | | | | | | |
|Следов| | | | | | | |
|ательн| | | | | | | |
|о, | | | | | | | |
|позади| | | | | | | |
|под | | | | | | | |
|гистог| | | | | | | |
|раммой| | | | | | | |
|равна | | | | | | | |
|сумме | | | | | | | |
|всех | | | | | | | |
|носите| | | | | | | |
|льных | | | | | | | |
|частот| | | | | | | |
|, т.е.| | | | | | | |
|единиц| | | | | | | |
|е. | | | | | | | |
|Из | | | | | | | |
|гистог| | | | | | | |
|раммы | | | | | | | |
|можно | | | | | | | |
|получи| | | | | | | |
|ть | | | | | | | |
|полиго| | | | | | | |
|н того| | | | | | | |
|же | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я. | | | | | | | |
|Если | | | | | | | |
|середи| | | | | | | |
|ны | | | | | | | |
|верхни| | | | | | | |
|х | | | | | | | |
|основа| | | | | | | |
|ний | | | | | | | |
|прямоу| | | | | | | |
|гольни| | | | | | | |
|ков | | | | | | | |
|соедин| | | | | | | |
|ить | | | | | | | |
|отрезк| | | | | | | |
|ами | | | | | | | |
|прямой| | | | | | | |
|. | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|4* | | | | | | | |
|Сделат| | | | | | | |
|ь | | | | | | | |
|вывод | | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|форме | | | | | | | |
|ряда | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я по | | | | | | | |
|виду | | | | | | | |
|гистог| | | | | | | |
|раммы | | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|полиго| | | | | | | |
|на, а | | | | | | | |
|также | | | | | | | |
|по | | | | | | | |
|значен| | | | | | | |
|иям | | | | | | | |
|коэффи| | | | | | | |
|циенто| | | | | | | |
|в Ас и| | | | | | | |
|Ек. | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|4 | | | | | | | |
|Анализ| | | | | | | |
|график| | | | | | | |
|ов и | | | | | | | |
|выводы| | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Гистог| | | | | | | |
|рамма | | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|полиго| | | | | | | |
|н | | | | | | | |
|являют| | | | | | | |
|ся | | | | | | | |
|аппрок| | | | | | | |
|симаци| | | | | | | |
|ями | | | | | | | |
|кривой| | | | | | | |
|плотно| | | | | | | |
|сти | | | | | | | |
|(диффе| | | | | | | |
|ренциа| | | | | | | |
|льной | | | | | | | |
|функци| | | | | | | |
|и) | | | | | | | |
|теорет| | | | | | | |
|ическо| | | | | | | |
|го | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|(генер| | | | | | | |
|альной| | | | | | | |
|совоку| | | | | | | |
|пности| | | | | | | |
|). | | | | | | | |
|Поэтом| | | | | | | |
|у по | | | | | | | |
|их | | | | | | | |
|виду | | | | | | | |
|можно | | | | | | | |
|судить| | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|гипоти| | | | | | | |
|ческом| | | | | | | |
|законе| | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я. | | | | | | | |
|Для | | | | | | | |
|постро| | | | | | | |
|ения | | | | | | | |
|кумуля| | | | | | | |
|ты | | | | | | | |
|дискре| | | | | | | |
|тного | | | | | | | |
|ряда | | | | | | | |
|по оси| | | | | | | |
|абсцис| | | | | | | |
|с | | | | | | | |
|отклад| | | | | | | |
|ывают | | | | | | | |
|значен| | | | | | | |
|ия | | | | | | | |
|призна| | | | | | | |
|ка | | | | | | | |
|xi, а | | | | | | | |
|по оси| | | | | | | |
|ордина| | | | | | | |
|т – | | | | | | | |
|накопл| | | | | | | |
|енные | | | | | | | |
|относи| | | | | | | |
|тельны| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
|частот| | | | | | | |
|ы Whi.| | | | | | | |
|Для | | | | | | | |
|интерв| | | | | | | |
|альног| | | | | | | |
|о ряда| | | | | | | |
|по оси| | | | | | | |
|абсцис| | | | | | | |
|с | | | | | | | |
|отклад| | | | | | | |
|ывают | | | | | | | |
|интерв| | | | | | | |
|алы . | | | | | | | |
|С | | | | | | | |
|кумуля| | | | | | | |
|той | | | | | | | |
|сопост| | | | | | | |
|авляет| | | | | | | |
|ся | | | | | | | |
|график| | | | | | | |
|интегр| | | | | | | |
|альной| | | | | | | |
|функци| | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|F(x). | | | | | | | |
|В | | | | | | | |
|нашем | | | | | | | |
|пример| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
|коэффи| | | | | | | |
|циенты| | | | | | | |
|асимме| | | | | | | |
|трии и| | | | | | | |
|эксцес| | | | | | | |
|са не | | | | | | | |
|намног| | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|отлича| | | | | | | |
|ются | | | | | | | |
|от | | | | | | | |
|нуля. | | | | | | | |
|Коэффи| | | | | | | |
|циент | | | | | | | |
|асимме| | | | | | | |
|трии | | | | | | | |
|оказал| | | | | | | |
|ся | | | | | | | |
|отрица| | | | | | | |
|тельны| | | | | | | |
|м | | | | | | | |
|(Ас=-0| | | | | | | |
|,005),| | | | | | | |
|что | | | | | | | |
|свидет| | | | | | | |
|ельств| | | | | | | |
|ует о | | | | | | | |
|неболь| | | | | | | |
|шой | | | | | | | |
|левост| | | | | | | |
|оронне| | | | | | | |
|й | | | | | | | |
|асимме| | | | | | | |
|трии | | | | | | | |
|данног| | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я. | | | | | | | |
|Эксцес| | | | | | | |
|с | | | | | | | |
|оказал| | | | | | | |
|ся | | | | | | | |
|также | | | | | | | |
|отрица| | | | | | | |
|тельны| | | | | | | |
|м (Ек=| | | | | | | |
|-0,034| | | | | | | |
|). Это| | | | | | | |
|говори| | | | | | | |
|т о | | | | | | | |
|том, | | | | | | | |
|что | | | | | | | |
|кривая| | | | | | | |
|, | | | | | | | |
|изобра| | | | | | | |
|жающая| | | | | | | |
|ряд | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я, по | | | | | | | |
|сравне| | | | | | | |
|нию с | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьной, | | | | | | | |
|имеет | | | | | | | |
|нескол| | | | | | | |
|ько | | | | | | | |
|более | | | | | | | |
|плоску| | | | | | | |
|ю | | | | | | | |
|вершин| | | | | | | |
|у. | | | | | | | |
|Гистог| | | | | | | |
|рамма | | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|полиго| | | | | | | |
|н | | | | | | | |
|напоми| | | | | | | |
|нают | | | | | | | |
|кривую| | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьного | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|(рис.1| | | | | | | |
|.1 и | | | | | | | |
|1.2.).| | | | | | | |
|Все | | | | | | | |
|это | | | | | | | |
|дает | | | | | | | |
|возмож| | | | | | | |
|ность | | | | | | | |
|выдвин| | | | | | | |
|уть | | | | | | | |
|гипоте| | | | | | | |
|зу о | | | | | | | |
|том, | | | | | | | |
|что | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
|продол| | | | | | | |
|житель| | | | | | | |
|ности | | | | | | | |
|горени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|электр| | | | | | | |
|олампо| | | | | | | |
|чек | | | | | | | |
|являет| | | | | | | |
|ся | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьным. | | | | | | | |
|Приеча| | | | | | | |
|ние: | | | | | | | |
|Кумуля| | | | | | | |
|та, | | | | | | | |
|гистро| | | | | | | |
|нрамма| | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|полиго| | | | | | | |
|н | | | | | | | |
|находя| | | | | | | |
|тся в | | | | | | | |
|прилож| | | | | | | |
|ениях | | | | | | | |
|к | | | | | | | |
|работе| | | | | | | |
|. | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|5* | | | | | | | |
|Рассчи| | | | | | | |
|тать | | | | | | | |
|плотно| | | | | | | |
|сть и | | | | | | | |
|интегр| | | | | | | |
|альную| | | | | | | |
|функци| | | | | | | |
|ю | | | | | | | |
|теорет| | | | | | | |
|ическо| | | | | | | |
|го | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьного | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я и | | | | | | | |
|постро| | | | | | | |
|ить | | | | | | | |
|эти | | | | | | | |
|кривые| | | | | | | |
|на | | | | | | | |
|график| | | | | | | |
|ах | | | | | | | |
|гистог| | | | | | | |
|раммы | | | | | | | |
|и | | | | | | | |
|кумуля| | | | | | | |
|ты | | | | | | | |
|соотве| | | | | | | |
|тствен| | | | | | | |
|но. | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Расчет| | | | | | | |
|теорет| | | | | | | |
|ическо| | | | | | | |
|й | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьной | | | | | | | |
|кривой| | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Привед| | | | | | | |
|ем | | | | | | | |
|один | | | | | | | |
|из | | | | | | | |
|способ| | | | | | | |
|ов | | | | | | | |
|расчет| | | | | | | |
|а | | | | | | | |
|теорет| | | | | | | |
|ическо| | | | | | | |
|го | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьного | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я по | | | | | | | |
|двум | | | | | | | |
|найден| | | | | | | |
|ным | | | | | | | |
|выборо| | | | | | | |
|чным | | | | | | | |
|характ| | | | | | | |
|еристи| | | | | | | |
|кам x | | | | | | | |
|и S | | | | | | | |
|эмпири| | | | | | | |
|ческог| | | | | | | |
|о | | | | | | | |
|ряда. | | | | | | | |
|При | | | | | | | |
|расчет| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
|теорет| | | | | | | |
|ически| | | | | | | |
|х | | | | | | | |
|частот| | | | | | | |
|m^тi | | | | | | | |
|за | | | | | | | |
|оценку| | | | | | | |
|матема| | | | | | | |
|тическ| | | | | | | |
|ого | | | | | | | |
|ожидан| | | | | | | |
|ия | | | | | | | |
|(мю) и| | | | | | | |
|средне| | | | | | | |
|го | | | | | | | |
|квадра| | | | | | | |
|тическ| | | | | | | |
|ого | | | | | | | |
|отклон| | | | | | | |
|ения G| | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьного | | | | | | | |
|закона| | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|приним| | | | | | | |
|ают | | | | | | | |
|значен| | | | | | | |
|ия | | | | | | | |
|соотве| | | | | | | |
|тствую| | | | | | | |
|щих | | | | | | | |
|выборо| | | | | | | |
|чных | | | | | | | |
|характ| | | | | | | |
|еристи| | | | | | | |
|к x | | | | | | | |
|ср. и | | | | | | | |
|S, | | | | | | | |
|т.е. | | | | | | | |
|(мю)=X| | | | | | | |
|ср.= | | | | | | | |
|751,75| | | | | | | |
|39; | | | | | | | |
|G=S=7,| | | | | | | |
|99. | | | | | | | |
|Теорет| | | | | | | |
|ически| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
|частот| | | | | | | |
|ы | | | | | | | |
|находя| | | | | | | |
|т по | | | | | | | |
|формул| | | | | | | |
|е: | | | | | | | |
|M^i=np| | | | | | | |
|i, | | | | | | | |
|где n| | | | | | | |
|– | | | | | | | |
|объем;| | | | | | | |
|Pi – | | | | | | | |
|величи| | | | | | | |
|на | | | | | | | |
|попада| | | | | | | |
|ния | | | | | | | |
|значен| | | | | | | |
|ия | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьно | | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|деленн| | | | | | | |
|ой | | | | | | | |
|случай| | | | | | | |
|ной | | | | | | | |
|величи| | | | | | | |
|ны в | | | | | | | |
|i-й | | | | | | | |
|интерв| | | | | | | |
|ал. | | | | | | | |
|Вероят| | | | | | | |
|ность | | | | | | | |
|Pi | | | | | | | |
|опреде| | | | | | | |
|ляется| | | | | | | |
|по | | | | | | | |
|формул| | | | | | | |
|е | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Pi=P(a| | | | | | | |
|i<x<=b| | | | | | | |
|i)=1/2| | | | | | | |
|[Ф(t2i| | | | | | | |
|)-Ф(t1| | | | | | | |
|i)], | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Где | | | | | | | |
|Ф(t)=2| | | | | | | |
| | | | | | | | |
|2(пи)=| | | | | | | |
|интегр| | | | | | | |
|алу с | | | | | | | |
|границ| | | | | | | |
|ами от| | | | | | | |
|(0;t) | | | | | | | |
|е^x2/2| | | | | | | |
|dx | | | | | | | |
|- | | | | | | | |
|интегр| | | | | | | |
|альная| | | | | | | |
|функци| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|Лаплас| | | | | | | |
|а – | | | | | | | |
|находи| | | | | | | |
|тся по| | | | | | | |
|таблиц| | | | | | | |
|е для | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|T2i=bi| | | | | | | |
|-x | | | | | | | |
|ср. S| | | | | | | |
| | | | | | | | |
|T1i=ai| | | | | | | |
|-x | | | | | | | |
|ср.S | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Таблиц| | | | | | | |
|ы Для | | | | | | | |
|вычисл| | | | | | | |
|ения | | | | | | | |
|вероят| | | | | | | |
|ности | | | | | | | |
|нормал| | | | | | | |
|ьной | | | | | | | |
|кривой| | | | | | | |
|распре| | | | | | | |
|делени| | | | | | | |
|я | | | | | | | |
|Интерв| | | | | | | |
|алы | | | | | | | |
|a(i) |b(i) | | | | | | |
|730,64|735,356|2 |-2,640|-2,051 |0,4958|0,4798 |-0,008|
|4 | | | | | | |0 |
|735,35|740,068|8 |-2,051|-1,461 |0,4798|0,4279 |-0,026|
|6 | | | | | | |0 |
|740,06|744,780|6 |-1,461|-0,872 |0,4279|0,3078 |-0,060|
|8 | | | | | | |1 |
|744,78|749,492|18 |-0,872|-0,283 |0,3078|1,1103 |0,4013|
|0 | | | | | | | |
|749,49|754,204|35 |-0,283|0,306 |0,0300|0,6619 |0,3160|
|2 | | | | | | | |
|754,20|758,916|12 |0,306 |0,896 |0,1179|0,3133 |0,0977|
|4 | | | | | | | |
|758,91|763,628|11 |0,896 |1,485 |0,3133|0,4306 |0,0587|
|6 | | | | | | | |
|763,62|768,340|6 |1,485 |2,074 |0,4306|0,4808 |0,0251|
|8 | | | | | | | |
|768,34|773,052|2 |2,074 |2,664 |0,4808|0,4960 |0,0076|
|0 | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
|Pi*n |Mi(теор|Mi(теор|Mi(тео| | | | |
| |) |)/h |р)нако| | | | |
| | | |п | | | | |
|-0,800|1 |0,002 |0,0080| | | | |
|0 | | | | | | | |
|-2,595|3 |0,006 |0,0340| | | | |
|0 | | | | | | | |
|-6,005|6 |0,013 |0,0940| | | | |
|0 | | | | | | | |
|40,125|40 |0,085 |0,4953| | | | |
|0 | | | | | | | |
|31,595|32 |0,068 |0,8153| | | | |
|0 | | | | | | | |
|9,7700|10 |0,021 |0,9130| | | | |
|5,8650|6 |0,012 |0,9716| | | | |
|2,5100|3 |0,005 |0,9967| | | | |
|0,7600|1 |0,002 |1,0000| | | | |
| |100 | | | | | | |

Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает
согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.

6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи
яПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения
нормальному закону используют критерий
|X^2, | |Mi(Прак|Mi(тео|(Mi-Mi(теор|…../Mi|
|основа| |т) |р) |))^2 |(теор)|
|нный | | | | | |
|на | | | | | |
|сравне| | | | | |
|нии | | | | | |
|эмпири| | | | | |
|ческих| | | | | |
|частот| | | | | |
|mi с | | | | | |
|теорет| | | | | |
|ически| | | | | |
|ми | | | | | |
|m^тi, | | | | | |
|которы| | | | | |
|е | | | | | |
|можно | | | | | |
|ожидат| | | | | |
|ь при | | | | | |
|принят| | | | | |
|ии | | | | | |
|опреде| | | | | |
|ленной| | | | | |
|нулево| | | | | |
|й | | | | | |
|гипоте| | | | | |
|зы. | | | | | |
|Значен| | | | | |
|ие | | | | | |
|X^2наб| | | | | |
|л. – | | | | | |
|наблюд| | | | | |
|аемое | | | | | |
|значен| | | | | |
|ие | | | | | |
|критер| | | | | |
|ия, | | | | | |
|получе| | | | | |
|нное | | | | | |
|по | | | | | |
|резуль| | | | | |
|татам | | | | | |
|наблюд| | | | | |
|ений, | | | | | |
|равно | | | | | |
|к | | | | | |
| | | | | | |
|F^2наб| | | | | |
|л.= | | | | | |
|(mi-m^| | | | | |
|тi) | | | | | |
|I=1 | | | | | |
|m^i | | | | | |
|Где | | | | | |
|к – | | | | | |
|число | | | | | |
|интерв| | | | | |
|алов | | | | | |
|(после| | | | | |
|объеди| | | | | |
|нения)| | | | | |
|. M^i| | | | | |
|– | | | | | |
|теорет| | | | | |
|ически| | | | | |
|е | | | | | |
|частот| | | | | |
|ы. Все| | | | | |
|вспомо| | | | | |
|гатель| | | | | |
|ные | | | | | |
|расчет| | | | | |
|ы, | | | | | |
|необхо| | | | | |
|димые | | | | | |
|для | | | | | |
|вычисл| | | | | |
|ения | | | | | |
|f^2, | | | | | |
|сведем| | | | | |
|в | | | | | |
|таблиц| | | | | |
|у 1.6.| | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
|Таблиц| | | | | |
|а 1.6.| | | | | |
| | | | | | |
|Вычисл| | | | | |
|ение | | | | | |
|критер| | | | | |
|ия X^2| | | | | |
|при | | | | | |
|провер| | | | | |
|ке | | | | | |
|нормал| | | | | |
|ьности| | | | | |
|продол| | | | | |
|житель| | | | | |
|ности | | | | | |
|горени| | | | | |
|я | | | | | |
|электр| | | | | |
|олампо| | | | | |
|чек | | | | | |
| | | | | | |
|Интерв| | | | | |
|алы | | | | | |
|a(i) |b(i) | | | | |
|730,64|735,356|2 |2 |9 |1,29 |
|4 | | | | | |
|735,35|740,068|8 |5 | | |
|6 | | | | | |
|740,06|744,780|6 |13 |49 |3,88 |
|8 | | | | | |
|744,78|749,492|18 |21 |9 |0,43 |
|0 | | | | | |
|749,49|754,204|35 |25 |100 |4,01 |
|2 | | | | | |
|754,20|758,916|12 |21 |81 |3,89 |
|4 | | | | | |
|758,91|763,628|11 |12 |1 |0,08 |
|6 | | | | | |
|763,62|768,340|6 |5 |1 |0,14 |
|8 | | | | | |
|768,34|773,052|2 |2 | | |
|0 | | | | | |
| | | | |X^2набл |13,71 |

Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице
распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа
степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем
сравниваем X^2кр.

Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не
отвергается (не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе
распределения отвергается с вероятностью ошибки (.
Для нашего примера X^2набл.=13,71, (=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после
объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном
законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что
распределение продолжительности горения электролампочек является
нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.

————————
[pic]

[pic]