Министерство науки и образования Украины
Днепропетровский национальний университет

механико-математический факультет

кафедра дифференциальних уравнений

КУРСОВАЯ РАБОТА

“ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
МЕТОДОМ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ”

Допускается к защите Исполнитель
Заведующий кафедрой ДР студентка гр. МЕ-98-2
Поляков М.В. Билан О.Ф.
«____» ________ 2002г. подпись ___________

подпись ___________

Научный руководитель
Профессор Остапенко В.А.
«____» ________ 2002г.

подпись ___________

Рецензент
Доцент Бойцун Л.Г.
«____» ________ 2002г.

подпись ___________

Днепропетровск
2002

Содержание

Содержание ……………………………………………………………………….….2

Реферат ……………………………………………………………………………….3

Annotation …………………………………………………………………………….4

Введение ………………………………………………………………………………5
1. Метод Ван-Дер-Поля …………………………………………………………7
1. Метод усреднения Ван-дер-Поля ……………………………………………7
2. Обоснование метода Ван-дер-Поля
Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси ……………………………………….13
2. Решение уравнения ………………………………………………………………22
Выводы ………………………………………………………………………………29
Список использованной литературы ………………………………………………30

Реферат

Выпускная работа 30 стр., 5 источников.
Выпускная работа «Построение приближеного решения нелинейного уравнения
методом Ван-дер-Поля» посвящена эффективному способу решения нелинейных
задач теории колебаний с одной степенью свободы. Метод Ван-дер-Поля
обладает большой наглядностью и удобен для проведения расчетов.
Работа содержит теоретические выкладки по методу Ван-дер-Поля,
обоснование метода Мандельштамом и Папалекси и построение приближенного
решения уравнения:
[pic].
Работа интересна для специалистов в области прикладной математики,
механики, физики и для студентов старших курсов.

Annotation.

The graduation paper “Approximated solution building of nonlinear
equation by Van-der-Pol’s method” is dedicated to very effective way of
nonlinear problems solution of oscillations theory with one degree of
freedom. Van-der-Pol’s method possesses the great visuality and is
comfortable for calculations.
The work contains theoretical part by Van-der-Pol’s method, the
validation of Mandelshtam and Papalexy method and approximated solution
building of the equation:
[pic].
This work is very interesting for the experts in domain of applied
mathematics, mechanics, physics and for students of senior courses.

Введение.

Методы возмущений или асимптотические методы малого параметра для
решения дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее
мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать
приближенные аналитические представления решений весьма сложных линейных и
нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений,
так и для уравнений в частных производных.
Суть асимптотических методов заключается в том, что при их применении
достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности
некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи,
которое тем точнее, чем меньше эта окрестность.
Аналитические методы обычно делятся на эвристические и точные.
Совмещая в себе простоту эвристических представлений с точностью
аналитических оценок, асимптотические методы не ограничиваются ролью
«золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие
от классической математики состоит в том, что уровень точности конкурирует
с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического
разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается
вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип
неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая
занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность
асимптотических методов подтверждается также тем фактом, что активное
взаимодействие численных методов с аналитическими происходит также через
асимптотику.
Эффективность асимптотических методов признана всеми в самых разных
областях прикладной математики.
Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и
специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди
причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные
уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия
на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных
задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя
численные и аналитические методы. Среди аналитических методов весьма
мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим
или малым значениям параметра или координаты.
В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела и других
разделов физики крайне редко оказывается возможным получить точные решения
— причиной этого служат обычно различного рода нелинейности, неоднородности
или сложные граничные условия. Поэтому инженеры, физики и специалисты по
прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным решениям, которые
могут строиться либо численными методами, либо аналитическими, либо путем
комбинации численных и аналитических подходов.
В настоящее время, в эпоху быстрого развития вычислительной техники,
асимптотические методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они служат для
выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и
анализа особых точек, для построения опорных «тестовых» решений, а в ряде
случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

1. МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

Метод Ван-дер-Поля возник в 1920-1923гг. в связи с быстрым развитием
радиотехники после изобретения электронной лампы. В связи с созданием
различных радиотехнических устройств необходимо было создать генератор
устойчивых колебаний постоянной амплитуды. Для решения этой задачи
необходимо было перейти от линейного генератора колебаний к нелинейному.
Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые
нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не
допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал
приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных
уравнений второго порядка подобного рода.
1.1. Метод усреднения Ван-дер-Поля.

В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассматривал, главным образом, уравнения
с малым положительным параметром ? вида

[pic]
(1)

Оно описывает всякого рода колебательные движения в среде низкого
сопротивления.
Уравнение (1) условимся называть квазилинейным, а колебания, которые
оно описывает, — квазилинейными колебаниями. Функция f может быть весьма
общего вида и, в частности, даже разрывной.
Уравнение

[pic]
(1.2)

называется порождающим. Оно описывает гармонические колебания. Общее
решение этого уравнения:

х=acos(?t+?),

оно описывает некоторый колебательный процесс, обладающий частотой ?.
Естественно предположить, что в случае малых значений ? решение
уравнения (1) будет описывать также некоторый колебательный процесс.
Для получения приближенного решения уравнения (1) при достаточно
малых значениях параметра ? Ван-дер-Поль предложил особый прием, названный
им методом «медленно меняющихся» коэффициентов, аналогичный одному из
методов, применявшихся еще Лагранжем в небесной механике. Он представил
истинное решение уравнения (1) в виде функции, выражающей гармонические
колебания:

х=acos(?t+?)
(2)

с медленно меняющимися амплитудой а и фазой ?, которые должны находиться из
системы дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

[pic] ,
(3)

составленными по определенному правилу. Уравнения (3), так называемые
«укороченные уравнения» Ван-дер-Поля, позволяют сравнительно просто
получить приближенное решение исходного уравнения (1). В частности, задача
отыскания периодического решения уравнения (1) сводится к значительно более
простой задаче нахождения состояния равновесия системы, описываемой
«укороченными уравнениями» (3).
Перейдем к составлению «укороченных уравнений» для рассматриваемого
уравнения (1), или эквивалентной ему системы двух уравнений первого порядка

[pic]
(4)

Прежде всего, заметим, что при ?=0 уравнение (1) превращается в
дифференциальное уравнение обычного гармонического осциллятора, и тогда
решение системы (4) имеет вид:

[pic] (5)
где а и ?— постоянные интегрирования.

Будем отыскивать решение уравнения (4) при достаточно малых значениях
параметра ? в виде выражений (5), но уже считая а и ? не постоянными, а
некоторыми функциями времени. Для этого будем рассматривать выражения (5)
не как решения уравнения (4) при ? = 0, а как формулы замены старых
переменных х и у на новые переменные а и ?.
Сделаем замену: [pic].
Продифференцировав выражения (5) по t, подставим значения производных в
уравнениях (4). Принимая во внимание формулы (5), получаем систему
уравнений относительно производных, новых переменных а и ?:

[pic] (6)

разрешая систему (6) относительно [pic] и [pic], находим систему уравнений:

[pic]
(7)

Система дифференциальных уравнений (7) эквивалентна рассматриваемой
исходной системе (4) или, что то же самое, уравнению (1) .
Из системы (7) видно, что медленные и быстрые движения для [pic]
разделены.
Усредняя правые части системы (7) мы получим (8):

[pic]
(8)

где принято обозначение [pic]
Таким образом, «укорочёнными уравнениями» для системы (7) являются
уравнения (3), где

[pic] (9)

Уравнения (8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениями
Ван-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (7), поскольку первое
уравнения может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (8)
медленные и быстрые движения для [pic] разделены.
Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон изменения
амплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти только
зависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого
достаточно найти решение уравнения первого порядка (в общем случае
нелинейного).
Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший интерес обычно
представляет не сама фаза, а скорость ее изменения в зависимости от
амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение
системы (8).
Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1) состоит в переходе от
переменной х и y к переменным а и [pic](которые мы будем называть
переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (7) укороченной
системой (8).
Система (8) позволяет найти возможные стационарные
(автоколебательные) режимы, т.е. режимы, при которых амплитуда остается
неизменной. Полагая [pic], находим, что стационарная амплитуда должна быть
корнем трансцендентного уравнения

[pic]
(10)

Заметим, что уравнение (10) совпадает с одним из тех уравнений, которое
мы получили бы, если бы рассматривали уравнение (1) как квазилинейное и
разыскивали периодические решения методом Пуанкаре.
Трансцендентное уравнение (10) может совсем не иметь действительных
решений. Это будет означать, что в системе стационарные колебания
невозможны. Уравнение (10) может иметь одно или несколько решений, в
случаях консервативных систем оно удовлетворяется тождественно. В самом
деле, в этом случае функция f зависит только от переменной x, поэтому
уравнение (10) примет вид:

[pic]
(10а)
Так как [pic], то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:
[pic]

Обозначим через F[pic]— неопределенный интеграл [pic].
Тогда [pic],
то есть уравнение (10а) удовлетворяется тождественно по [pic].

Обоснование метода Ван-дер-Поля

Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.

Рассмотрим систему стандартного вида
[pic] (s=1,2) (1)
Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного
вида:

[pic] (2)

Сделаем замену

[pic],

тогда: [pic]
(3)

Будем считать [pic]=[pic].
Среднее значение функции [pic] за период 2[pic]:

[pic]

При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в
предположении, что [pic] и [pic] от t не зависят.

[pic]
Наряду с точной системой рассматривается приближенная

[pic], (s=1,2).

Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях

[pic]
(4)

Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных [pic]
функции [pic] непрерывны и ограничены. Функции [pic] также непрерывны и
ограничены в области Г. [pic]— 2[pic]-периодические по t. Функции [pic]и
[pic]— удовлетворяют условию Липшица по переменным [pic] и [pic] (при этих
условиях существует и единственно решение). Тогда для[pic] [pic] и L>0:

[pic]
(5)

0[pic]
(6)

Доказательство:
Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно.
Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений.
[pic]
Обозначим

[pic] (*)

Функция [pic][pic]— 2[pic]-периодическая по [pic].
Пусть
[pic] (7)

[pic] удовлетворяет условиям Липшица по переменным [pic]и[pic].
Проинтегрируем функцию [pic]:

[pic].

Интеграл [pic] и [pic] поэтому
[pic]

[pic]
(7a)

В промежутке [pic] находятся те значения t, для которых будет
существовать решение (1) — (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это
характеризуется так

[pic]
Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение
сходится к решению задачи Коши:
[pic]
[pic]

[pic] [pic]— целую часть от деления обозначим N. Тогда [pic]—
дробная часть [pic]

[pic],

где [pic]— остаточный интервал.
С учетом возможности такого разбиения
[pic]

Если рассмотреть [pic], то последнее выражение перепишется в виде:

[pic]=[pic],

где с учетом (4)

[pic]=[pic]

Рассмотрим интеграл при [pic]

[pic]

[pic] и [pic] от [pic] не зависят. Из равенств (7а) следует, что
последнее выражение равно нулю [pic].

Вычислим

[pic]
То есть

[pic]
[pic]
[pic]

[pic] (8)

Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы

[pic]

Так как

[pic],
то последнее неравенство равносильно следующему:

[pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

[pic]Поэтому:

[pic][pic]=[pic], (9)

[pic]где [pic]

[pic][pic] (10)

[pic][pic]

[pic][pic]— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем
воспользоваться этим, переходя к оценкам

[pic][pic] (11)
[pic]
[pic]

[pic][pic] (12)

[pic]

Пусть [pic], причем [pic], тогда:

[pic] (13)

Оценим

[pic] (14)

Фактически нужно оценить величину [pic].

[pic][pic]

Используем условие Липшица для [pic], тогда последнее неравенство

[pic]
(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).
[pic] (15)
[pic]
[pic] (16)

Можно увидеть следующую закономерность

[pic] (17)

По методу математической индукции, для [pic] оценки верны. Покажем их
справедливость и для [pic]

[pic]

Используя формулу (13), далее получим:

[pic] (18)

Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при [pic]
[pic] (19)

Обозначим через

[pic]

Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что
приближения не выходят из области G.

[pic]— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть

[pic]

В силу плотности числовой прямой

[pic], где [pic] (20)
Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь
оценками (19) и (20), имеем:

[pic]
Возьмем
[pic],
тогда

[pic]
Аналогично проверяем второе приближение

[pic]
Возьмем
[pic], тогда

[pic][pic]
И если
[pic],
если
[pic]
Если мы перейдем к перейдем к пределу при [pic], то получим:
[pic] (21)
Если мы [pic] будем выбирать из условия (21), то использование условия
Липшица законно.
[pic] необходимо согласовывать с [pic] с помощью (21) и
[pic]

Решение уравнения

Рассмотрим уравнение

[pic]
(1)

Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение.
Здесь ? – некоторая действительная постоянная, а ? – малый параметр.
Делаем в уравнении (1) замену: [pic] тогда получим систему

[pic]
(2)

Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и [pic], полагая здесь
и далее [pic], согласно формулам

[pic]
(3)

Далее, дифференцируем (3) по t, считая [pic]и ?[pic].

[pic] (4)

Подставим (4) в (2), учитывая (3).

[pic]
[pic] (5)

Разрешим эту систему относительно [pic]

[pic]

Домножим второе уравнение на [pic]
[pic][pic][pic] ,
тогда имеем:

[pic] (6)

Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая
системе (6) усредненная система имеет вид
[pic]
(7)

В системе (7) [pic] и [pic] имеют вид:

[pic]
то есть

[pic]

[pic]
[pic]

Таким образом имеем

[pic] или

[pic] [pic] (8)

Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от
времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):

[pic]

Умножим обе части равенства на [pic]:

[pic].

Сделаем замену
[pic] [pic] [pic]

[pic],
умножаем обе части равенства на [pic]:
[pic] [pic] [pic]

Так как [pic],
то тогда [pic],
или [pic]

[pic] [pic] [pic]

Предположим, что [pic], тогда [pic]

[pic][pic]; [pic];

[pic][pic]+[pic].
Отсюда находим

[pic] (9а)

Колебания представятся следующим образом (находим выражение для
приближенного значения x в явном виде)

[pic] (9)

Найдем [pic]

Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в
том, что каково бы ни было значение [pic], малое или большое, все равно
[pic] при [pic].
Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды [pic]=0,
амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим
х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение,
очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в
системе.
Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот
статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное
значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям,
равным [pic]. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически
неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии
покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система
самовозбуждается.
Из выражения (9) следует, что если [pic], то [pic], и для любых [pic]
[pic] очень быстро приближается к значению [pic] независимо от [pic]. Это
решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

[pic] (10)

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к
стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для [pic], приводят к уравнению

А[pic]=[pic]=0

[pic] .

Корни этого уравнения [pic] [pic];

[pic]; [pic]<0 [pic][pic][pic]

Таким образом, [pic] соответствует неустойчивому состоянию равновесия,
а [pic] соответствует устойчивому предельному циклу.
Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения
параметра [pic] всегда можно найти такое достаточно малое значение
параметра [pic], для которого уравнение (1) или, что то же самое, система
(2), имела бы предельный цикл, лежащий в [pic]окрестности окружности [pic],
причем этот предельный цикл устойчив, если[pic], и неустойчив, если [pic].
Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.
Наряду с точной системой рассматривается приближенная

[pic], (s=1,2) .

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных [pic]
функции [pic] непрерывны и ограничены. Функции [pic] также непрерывны и
ограничены в области Г. [pic]— 2[pic]-периодические по t. Функции [pic]и
[pic]— удовлетворяют условию Липшица по переменным [pic] и [pic] (при этих
условиях существует и единственно решение). Тогда для[pic] [pic] и
L>0 : [pic], 0[pic],

где [pic] (s=1,2) [pic]=[pic]
[pic] [pic] (s=1,2)

Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы
(6) находим [pic] и [pic]:

[pic]

Очевидно, что [pic] и [pic] непрерывны.
[pic], из этих неравенств видно, что [pic] и [pic] ограничены для любого
конечного [pic]. Функции [pic] и [pic] для системы (2) имеют вид:

[pic].

Из последней системы видно, что [pic] и [pic] непрерывны и ограничены
для любого конечного [pic]. [pic] и [pic]— периодические по t с любым
периодом, в том числе и [pic]. Функции [pic] и [pic], [pic] и [pic]
непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию
Липшица.
Пусть [pic] и [pic]— решения точной системы (6). Тогда для [pic]
[pic] и [pic] : [pic], [pic].
( В нашем случае [pic], [pic] определяется уравнением (9а)).
Выводы

В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать
достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью
свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен
для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы
стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах,
которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории
Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

Список использованной литературы

1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике,
«Наукова думка» Киев — 1971г.
2. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной
механики, М.: Наука, 1981г.
3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.
4. А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г.
5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз,
М.,1959г.
————————
[pic]