Предел.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь
угодно малого, ( N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-
A|<E. limn((Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.
Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-
ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность
(.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел:
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n((), тогда |a-
b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n(() => ( E/2 ( N1 (n>N1 |a-Xn|<E/2 Из lim
Xn=b (n(() => ( E/2 ( N2 (n>N2 |Xn-и|<E/2 N0=max(N1;N2), n>N0. |a-b|=|a-
Xn+Xn-b|(|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn(Zn(Yn ( limXn = lim Yn = a (n(() =>
( lim Zn=a (n(()
Док-во: 1. из того, что ( lim Xn=a (n(() => n>N2 |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2.
Из ( lim Yn=a (n(() => n>N3, a-E<Yn<a+E. 3. N0=max(N1,N2,N3). При всех n>N0
Xn(Zn(Yn. a+E>Xn(Zn(Yn>a-E => lim Zn=a (n(()
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х,
если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих
рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|(M. Если же такого
числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n((, если lim Xn = 0 (n((). (E>0,
N0, n>N0, |Xn|<E.
Свойства б.м. величин:
1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.
Док-во: из Xn – б.м. => ( E/2 (N1, n>N1 |Xn|<E/2
из Yn–б.м.=>( E/2 (N2, n>N2 |Yn|<E/2, N0=max(N1,N2), N>N0,
|Xn(Yn|(|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn(Yn)=0 (n((). Теорема справедлива для
любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => ( K, |Xn| ( K,
Yn – б.м. => ( E/K (N0 n>N0 |Yn|<E/K.
|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E
3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если
переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину
можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. ( lim Xn=a
(n(() => Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во: Из lim Xn=a (n(() => (E (N0 n>N0 |Xn-a|<E
Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину
можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n(().

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n((, если (M>0 (N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim
Xn=( (n(().
Свойства б.б. величин:
1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.
из Xn – б.б. =>(M (N1, n>N1 |Xn|>M
из Yn – б.б. => (M ( N2, n>N2 |Yn|>M
N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn=( (n(().
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim
Xn=( (n(() – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=( => M=1/E (N0, n>N0 |Xn|>M
=>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n(().
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные теоремы о пределах:
1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
3. lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n-
a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)
(n(().
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х(x0, если для любого Е>0 сколь
угодно малого сущ-ет такое число (>0, что при (x будет выпол |x-x0|<(,
будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или (x выпол x0-(<x<x+(=> A-
E<f(x)<A+E.
Lim x(x0 f(x)=A
Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при x(x0 если для (М>0
сколь угодно большого ( (>0, что (x |x-x0|<( будет выполняться
нер-во |f(x)|>M, (x x0-(<x<x0+(, -M>f(x)>M.
Lim f(x)=( (x(x0).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x((, если для любого Е>0 можно найти число
К, (x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.
Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.
Sтреуг МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.
SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.
SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.
SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.
SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}
1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x(0) =>lim (sinX)/x=1.
Следствия:
1. limx(0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=
=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;
2.limx(0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t(0}=
=limt(0t/sint=1;
3. limx(0 (sin (x)/(x = lim ((Sin (x)/((x)(=
=(/( lim(x(0(sin (x)/(x=(/(.
II замечательный предел.
limn(((1+1/n)n=?
Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+… +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-
4b4)/4!+…+bn.
(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+…+1/nn= =2+1/2!(1-
1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+…+1/nn={послед-ть
возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-
3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+…+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n
<3.
2((1+1/n)n<3 => ( limn(((1+1/n)n=e.
Следствия:
1.limx(+((1+1/x)x=e. Док-во: n(x(n+1 =>1/n(1/x(1/(n+1), 1/n+1 ( (1/x)+1 (
1/(n+1) + 1, (1/n+1)x((1/x+1)x((1+1/(n+1))x
(1/n+1)n+1((1+1/x)x((1+1/(n+1))n limn(((1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,(
limn(((1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => (limx(+((1+1/x)x=e.
Непрерывность.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при
х(х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)
Условия:
1. f(x) – опред ф-ия; 2. (limx(x0-0f(x) (limx(x0+0 f(x) – конечные пределы;
3. limx(x0-f(x)=limx(x0+f(x);
4. limx(x0(f(x)=f(x0).
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке:
1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)
y(х)=f1(x)(f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун
у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
Док-во (суммы): По определению получ limх(х0f1(x)=f1(x0) и
limх(х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать:
limх(х0у(х)=limх(х0[f1(x)+f2(x) ]=
=limх(х0f1(x)+limх(х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная
фун.(
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена.
3.Если фун z=((х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й
точке z0=((х0), то фун y=f(((х)) непрерывна в точке х0.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна
на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале
или отрезке (а,в).
Непрерывности на заданном промежутке
Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке
этого пром-ка.
Свойства(small):
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она
достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна
т-ка в кот ф-ия отрицат, то ( x0 на [a;b], f(x0)=0.
Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):
1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на
отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение
фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)(f(x), то значение фун в этой
точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая
точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю
f(x2)( f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).
2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка
принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по
крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0,
а<с<в.
3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах
этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было
число (, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в,
что f(с)=(.
Производная.
1.Пусть y=f(x), x(X, x0; x0+(x (X => (y=(f(x0)=f(x0+(x)-f(x0),
(y/(x=(f(x0+(x)-f(x0))/(x.
Если ( lim(x(0(y/(x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. ( Если
f(x) имеет производ в кажд т-ке x(X, то мы можем брать прозвол Х, считая
его фиксир, х+(х(Х. Lim(х(0(f(x0+(x)-f(x0))/(x=
=f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).
2. Геометр смысл производ.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку
фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при (х(0), то секущая приближ-ся к
касат.
y|(x0)=lim(х(0(f(x0+(x)-f(x0))/
/(x=lim(х(0(y/(x=lim(х(0tg(==lim(((0tg(=tg(0.
L: y-f(x0)=f(x0)(x-x0)
Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f(x0).
3. Основ теоремы о производных.
1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+(х имеем:
y+(y=(u+(u)+(v+(v). Следовательно, (y=(u+(v, (y/(x=(u/(x+(v/(x,
y|=lim(x(0(y/(x = lim(x(0(u/(x+ lim(x(0(v/(x=U|(x)+V/(x).
2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+(y=(u+(u)(v+(v), (y=(u+(u)(v+(v)-
uv=(uv+u(v+(u(v, (y/(x=(uv/(x+(vu/(x+(u(v/(x,
y|= lim(x(0(y/(x= lim(x(0(uv/(x + lim(x(0(vu/(x + lim(x(0(u(v/(x={
lim(x(0(u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.
3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+(y=(u+(u)/(v+(v), (y=(u+(u)/(v+(v)-
u/v=(v(u-u(v)/v(v+(v)
(y/(x…
4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.
Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х
принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его
в тождество(()( {F(x;y)=0,(у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) (0}
Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет
тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.
{[F(x;y)]/=0/}
Формула Лейбница.
y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)
Дифференцирование ф-ии в точке.
Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если (y=A(x+O((x), где А не
зависит от (Х, О((Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем (Х, когда
(Х(0, т.е. lim(x(0O((x)/(x=0. А(Х – главная часть приращения.
Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет
конечную производную A=f(x0).
Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано:
(y=A(x+O((x)
f(x0)=lim(x(0(y/(x= lim(x(0[(A(x+O((x))/(x] = lim(x(0(A+O((x)/(x)=A =>
(y=f(x0)(x+O((x) => lim(x(0(y=0 => f(x) – непрерывна.
Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она
дифф-ма. Дано: (f(x0) – число, f(x0)=lim(x(0(y/(x => (y/(x=f(x0)+(((x)
{(((ч) – б.м.}, (y=f(x0)(x+(((x)(x => (y=f(x0)(x+O((x), т.е.
O((x)=(((x)(x => lim(x(0O((x)/(x=lim(x(0(((x)=0. Дифференциал ф-ии это
главная часть приращения, линейная относит (Х.
Приближ знач ф-ии в некот т-ке: (y=f(x0+(x)-f(x0)
=>f(x0+(x)=f(x0)+(y(f(x0)+df(x0)=f(x0)+f(x0)dx, dx=(x.

————————
M

-M

X0-( X0 X0+(

x-( x x+(

A+E
A
A-E

-k k

A+E
A

A-E

C
M

O x B A

M
M0

X0 x0+(x