Магнитогорский государственный технический университет
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция
(((x) = x3 – 4x – 2 и ((x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются
нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы
на всей области определения (–( ; ().
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью
(0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от
однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную
точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и
программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения
данных задач.
Способ хорд
Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри
каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения
функции ((x1) и ((x2) разных знаков. Так как функция ((x) непрерывна
на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной
точке между x1 и x2.
2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ((x),
соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения
этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для
разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ,
проходящей через две данные точки A(x1;((x1)) и B(x2; ((x2)), в
каноническом виде:
[pic];
Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:
[pic]
3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ((а1). Если
на данном отрезке мы имеем ((x1)<0, ((x2)>0 и ((a1)<0, то повторяем
тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если ((x1)>0,
((x2)<0 и ((a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1].
Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более
точные значения корня а2, а3 и т.д.
Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0
((x) = x3 – 4x – 2,
(((x) = 3×2 – 4,
производная меняет знак в точках [pic]
(((x) + – +
((x) [pic] [pic] х
функция ((x) монотонно возрастает при x((–(;[pic]] и при х([[pic];(), и
монотонно убывает при x([[pic];[pic]].
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых
находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для
этого подставляем наугад в выражение ((х) наугад те или иные значения х,
выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки,
на концах которых функция имеет разные знаки:
((–2)= –2,
((–1)= 1,
((0)= –2,
((1)= –5,
((2)= –2,
((3)= 13.
Таким образом, корни находятся в интервалах
(–2;–1), (–1;0), (2;3).
Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст
соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит
последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для
каждого из участков:
Для (–2;–1): Для (–1;0):
a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000
a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333
a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000
a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653
a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394
a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195
a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423
a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488
a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506
a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511
a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513
для (2;3)
a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000
a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000
a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000
a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000
a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000
a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000
a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000
a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000
a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000
a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000
Приближенным значением корня уравнения на отрезке
(–2;–1) является x = –1,6751
————————
a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000
a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000
a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000
a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000
a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000
a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000
a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000
a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000