Лицей информационных технологий

Реферат

Производная и ее приложения

Выполнил: ученик 11А класса
Новиков А.
Проверила: Шекера Г.В.

г.Хабаровск
2004

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….…3

1. Понятие производной……………………………………………………….………………….4

2. Геометрический смысл производной…………………….……………………….……..4

3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5

4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6

5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции………………..………………………….11

6.3 .Правило нахождения экстремума……………………………………………………..12

6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………………12

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………………….16

7.2. Применение производной в экономической теории…………………………..……..19

7.3. Использование производной для решения задач по экономической
теории….……21

8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………….25

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….……28

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических

и тригонометрических выражений……………………………………………….……29

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной……………………30

9.5. Применение производной в вопросах существования корней
уравнений………….31

Заключение………………………………………………………………………………………32

Список литературы……………………………………………………………………………..33
Введение

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не
возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие
фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического
развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой
математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от
изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной
зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 — 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед
математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами
математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,
отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он
не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией
изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким
образом, понятие функции носит у него «геометрический налет». В современных
терминах это определение связано с понятием множества и звучит так:
«Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во
множество В = {в}, по которому каждому элементу а[pic]А поставлен в
соответствие определенный элемент в[pic]В. Уже в этом определении не
накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может
быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в
этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А и В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается
изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в
математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших
преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы
дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального
исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с
помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов:
определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов
функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений
квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых
излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику,
превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические,
экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,
включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,
аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными.
В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях
производной.

1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей
знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического
процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют
производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и
обозначают символом
[pic]
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех
шагов:

1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее
приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);

2) составляем отношение[pic]
3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, [pic], или [pic]
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0

[pic]

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции —
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;
tg?=?y/?x .
Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO — это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k — угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k — угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.

lim Vср (t) = ((t0) — мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.

а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) — скорость,
a(f) = ('(t) — ускорение, или
a(t) = x»(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) — изменение угла от времени,
? = ?'(t) — угловая скорость,
? = ?'(t) — угловое ускорение, или ? = ?»(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) — масса,
x ( [0; l], l — длина стержня,
р = m'(х) — линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х»(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у» + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А — амплитуда колебаний, ? — циклическая частота,
?0 — начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

|(C)’= 0 С=const |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|(cos x)'=-sin x |[pic] |
|(sin x)'=cos x |[pic] |
|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |
|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |
|[pic] | |

[pic] [pic]
[pic] [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом
предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]
очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти
производную затруднительно.
Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где
ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее
производную
[pic] (1)
Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из
формулы (1) получаем
[pic]. Или [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].

5. Производные высших порядков

Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или
производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем
написать [pic]
Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.

Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется
третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего
порядка и обозначается символами [pic].
Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)
обозначается символами [pic]
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную
третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших
порядков можно получить в случае произвольной функции.
Например:
1) [pic]; [pic]; [pic]; …;
[pic]; [pic].
Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –
переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|[pic] |
|Рис.1 (а) |
|[pic] |
|Рис.1 (б) |

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.

График возрастающей функции показан на рисунке1(а).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?
f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C

Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные
знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1),
то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
интервала неотрицательную производную.

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при
возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1
до x2 — возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2
до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую
функцию колеблющейся.

График колеблющейся функции показан на рисунке 3.
Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к
убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция
переходит от убывания к возрастанию, называются точками
поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их
абциссы — критическими значениями аргумента x

В той точке, где функция переходит от возрастания к
убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую
сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат,
соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса
которой равна x0, больше значений функции в точках,
абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f
(x0+?x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная
в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она
возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] — сохраняет
постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
[ x1 , b ) — убывает. Во всех точках, достаточно близких
к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют
нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.

Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)
этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,
принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] —
сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )
— возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто
минимумом.

Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)
этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой
достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .

По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала
[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f
(x).

Из этих определений следует, что функция может достигать своего
наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и
на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были
определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой
окрестности точки x0 .

Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то
говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или
экстремального значения).

Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала
[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)
на интервале [ a, b ] — это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] — это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из
значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего — в точке x1 интервала [ x0, x3 ].
На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и
максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в
точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не
существует.

Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее
производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не
дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
|[pic] |
|Рис. 6 |

На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0
f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки
называются точками возврата кривой y=f(x).

Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума
функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0
производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования экстремума
функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,
удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих
экстремума при x = x0.

Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта
функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия
экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)
неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом
интервале.

Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет
неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом
интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная
f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при
переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке
экстремум (максимум, если знак меняется с «+» на «-«, и минимум, если знак
меняется с «-» на «+»).

Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается
в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,
если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее
окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из
полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)
по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни
оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных
стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых
производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной
стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то
данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна
слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка
есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как
слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни
максимума, ни минимума, функции;
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает
максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или
минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в
число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых
определяется знак производной.

6.4.Точка перегиба графика функции.

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1 |

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).

Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0
следует, что для любой точки x из интервала (x0 — h, x0 + h), не
совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) — y < 0 ( f(x) —
y > 0) где f(x) — ордината точки M кривой y = f(x), y — ордината точки N
касательной y — y0 = f '(x0 )(x — x0 ) к
данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).

Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 — h, x0 + h),
не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) — y < 0 (f(x) —
y > 0),
то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b),
если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с
увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в
точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic] |
|Рисунок 2. |

В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой
y = f(x). Пусть a и j — углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2
видим, что j — внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).

Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)
обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)
убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная
убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале
(a, b): f ''(x)?0.
|[pic] |
|Рисунок 3. |

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2
непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в
интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная
f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b)
функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.

Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то
в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если
f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена
выпуклостью вниз.

Запишем уравнение касательной y — y0 = f '(x0 )(x — x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x — x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде
y = f(x0 ) + f '(x0 )(x — x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
[pic] (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение
(1), получим:[pic] (3)
Если f ''[x0 + ?(x — x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) — y ? 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.

Если f ''[x0 + ?(x — x0 )]?0, то имеем f(x) — y ? 0 откуда следует, что
кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.

Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то
высказанное выше утверждение доказано.
|[pic] |
|Рисунок 4. |

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой
перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке
перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот)
имеется единственная касательная).

Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную
f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] — точка перегиба кривой y = f(x). Тогда
f ''(x0 ) = 0 или не существует.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая
y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в
выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 —
h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале
(x0, x0 +h) — больше нуля.

Но f ''(x) — функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
|[pic] |
|Рисунок 5. |

На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой
перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при
x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.

Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)
обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой
y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако
это условие не является достаточным.
Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при
x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x)
при условии, конечно, что в точке A существует касательная.

Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 — h < x < x0 и
f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 — h; x0 ) кривая
y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) —
выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка
перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

1. Находим область определения функции f(x)

2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим
их на чертеж.

3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей
координат и начала координат.

4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в
точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой
с максимальной и минимальной ординатами.

7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки
перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется
составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в
точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при
x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде
уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е.
в виде y — y1 = f '(x1)(x — x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания
перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а
уравнение записывается в виде [pic]

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный»,
что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX
веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания
экономических явлений — инструмент, посредством которого стало возможно
ставить и решать новый класс научных проблем.
Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела
дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда
и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности
оказалось можно обнаружить в области предельных величин.
Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как
суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического
объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения
некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно
другого исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать
предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических
показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В
то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно
использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y — издержки производства, а х —
количество продукции, тогда (x- прирост продукции, а (y — приращение
издержек производства.
В этом случае производная [pic] выражает предельные издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на
производство дополнительной единицы продукции [pic],где MC – предельные
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q —
количество.
Геометрическая интерпретация предельных издержек — это тангенс угла
наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие
экономические величины, имеющие предельный характер.
Другой пример — категория предельной выручки (MR— marginal revenue) —
это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к
(n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].
При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).
Таким образом [pic], ( MR= P.
Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции,
когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния
на цену.
Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.
Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает
равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на
формирование цены. В основе рассматриваемого подхода — исследования А.
Маршалла.
Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,
имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и
полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем
наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную
полезность для конкретного потребителя.
В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта,
если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn,
можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:
U= U(х1, x2,… xn).
Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных
производных: [pic]. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей
массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении
количества блага i (i=1,2…n)
В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает
полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен
сопоставить полезности наборов товаров.
Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный
вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось
прогрессирующее вытеснение понятия «предельная полезность» категорией
предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).
Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y
товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы
компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.
Они определяются так: [pic].
Т.к. dy отрицательно, знак «-» вводится, чтобы MRS была больше нуля.
Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой
безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по
абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой
безразличия.
Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который
имеет аналог и на макроуровне.
Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на
потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как
правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения
равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и
больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими
исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией
склонности к потреблению или функцией потребления.
Использование производной позволяет определить такую категорию, как
предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume),
показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].
По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя
сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к
сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте
дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal
propensity to save): [pic].
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Еще одним примером использования производной в экономике является
анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов
принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от
факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент
исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда
увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию —
предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это
дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений
труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic], т.к. dY
— результат, dL — затраты, то MPL – предельная производительность труда.
Аналогично, MPk — предельный продукт капитала — дополнительный
продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при
неизменной величине труда:[pic].
Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].
MPk — характеризует предельную производительность капитала.
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения
относительного приращения функции y к относительному приращению переменной
x при (x(0:
[pic].
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится
функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов
увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)
его цены P на 1%: [pic].
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает,
на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных
колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает
коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько
процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на
текущее потребление, изменится на 1%: [pic].
Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке
различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического
смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической
интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что
многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления,
спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: «Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода».

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo), где MC — предельные издержки, а MR — предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R –
прибыль, а C – общие издержки производства.
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция
П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.
Но П’(Q)=R’(Q) — C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое важное понятие теории производства — это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние издержки по производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный
объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.
Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние
издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего
товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины
достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic],
откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).
Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в
экономической теории.
Один из наиболее знаменитых экономических законов — закон убывающей
доходности — звучит следующим образом: «с увеличением производства
дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает».
Иными словами, величина [pic], где (y — приращение выпуска продукции, а
(x — приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон
убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая
зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией,
выпуклой вверх.
Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности
U= U(x), где х — товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная
для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:
с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его
единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно
переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой
вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной
точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки
максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день
минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной
мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как
дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции
нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции
в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от
объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать
потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100
функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема
производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства
приводит к сокращению финансовых накоплений.
Задача 3.
Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,
которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за
определенный период времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],
Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]
Производная меньше нуля, если P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),
т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все
быстрее.

[pic]

Задача 4.
Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]
(Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: [pic] положительна, если p<1/2 и отрицательна для
p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (
несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения
[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к
сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
[pic]
[pic] темп положительный [pic]темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом
для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9
выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим
график.
|p |(0, 1/2) |1/2 |[pic] |[pic] |[pic] |
|U'(p) |+ |0 |- |-0,47 |- |
|U''(p) |- | |- |0 |+ |
|U (p) |возрастает |0,3 |убывает |0,2 точка |убывает |
| |выпукла |max |выпукла |перегиба |вогнута |

Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным
темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >
0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке
[pic] график перегибается (см. на рисунке):
[pic]

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец
находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает
падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с
постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены
нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте
2м?
[pic]

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=
4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: [pic],так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 — t2, из которого [pic];

В этот момент [pic] по т. Пифагора, т.е. [pic]

Скорость его изменения [pic]

Ответ:[pic]

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,
что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 — 2/3t. (m изменяется в
граммах, t — в секундах). Через сколько времени после начала падения
кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Скорость капли [pic] , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]

Исследуем функцию [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]

[pic]=0 t1=0 t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно
кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением
r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно
сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была
наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть [pic] [pic]

выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic] P’(R) =
0 : r — R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее
значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при
сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция [pic]на некотором интервале [pic]имеет
производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает; если
же [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке [pic] выполняется неравенство [pic],
функция [pic]и [pic]непрерывны в точке [pic] и [pic], то на [pic]
выполняется неравенство [pic].
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием
этих теорем.
Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]
Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную: [pic].
Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic] убывает так, что
при [pic] [pic]. Но [pic] [pic] Следовательно неравенство (1) [pic]
верно.
Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа, [pic] Тогда очевидно,
что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2)
верно а) при [pic]; б) при [pic]?
Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]
Отсюда видно, что при [pic]функция [pic]возрастает. В частности, она
возрастает на интервале [pic] Поэтому при [pic] неравенство (2)
справедливо.
б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и
[pic], для которых [pic], неравенство (2) неверно, а верно неравенство
противоположного смысла: [pic]
Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic] (3).
Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство [pic]: [pic]
на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic] где [pic], в данном случае
равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство: [pic] [pic] (4).
Решение: [pic], [pic]; [pic]
Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic] (5).
Решение: Пусть [pic] Тогда
[pic]
Чтобы найти, при каких значениях [pic] функция [pic]положительная,
исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]
Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая, что [pic] и
[pic] непрерывна, получаем [pic], при [pic].
Поэтому [pic] возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку [pic]
непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при [pic]: [pic] или [pic].
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].
Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [pic]. Для этого найдем ее
производную (по правилу дифференцирования дроби):
[pic]
[pic] при [pic].
В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic]. Поэтому, при
[pic] [pic] т.е. [pic]
[pic] при [pic].
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно
доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто
целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква [pic]) считать
применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой
[pic], а значение остальных букв (в данном случае значение буквы [pic])
считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи
применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных [pic]
неравенство: [pic] (6).
Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию
[pic].
При [pic] имеем [pic].
Отсюда видно (теорема 1), что [pic] убывает на [pic] Поэтому при
[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:
[pic] (7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию [pic]. При [pic]
имеем: [pic]
Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит, [pic]
(8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности
неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое
непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и пусть имеется такая
точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом х из
[pic] справедливо неравенство [pic] причем равенство имеет место лишь при
[pic].
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее
неравенство: [pic][pic]
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем
производную:
[pic].
Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу теоремы
3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при
[pic].

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться
одним очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:
[pic] на [pic] на [pic].
Задача 1. Проверить тождество:
[pic] (1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Вычислим ее производную (по х):
[pic]
Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно тождеству
(1).
Задача 2. Проверить тождество:
[pic] (2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Докажем, что [pic]
Найдем ее производную:
[pic]
[pic][pic][pic]
Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении
постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по
которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить
возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и
тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и
тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет
значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного
выражения:
Задача 1 Упростить выражение: [pic]
Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].
Задача 2. Упростить выражение:
[pic]
Решение: Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:
[pic]
отсюда [pic].
и при [pic]получаем: [pic]
Так что [pic]
Задача 3. Упростить запись функции:
[pic] (2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к
относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться
производной:
[pic]
Отсюда [pic]
Найдём [pic]: [pic]
Таким образом функция (2) равна [pic]
Задача 4. Упростить запись многочлена:
[pic] (3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно
первую и вторую производные этой функции:
[pic]
[pic]
Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],
[pic].

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:
[pic] (1)
Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и [pic] постоянными
фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],
будем иметь:
[pic]
Поэтому [pic] (2)
где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае — выражение, зависящее от
параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим
[pic] тогда [pic].
Получим [pic]
Задача 2. Разложить на множители выражение:
[pic] (3)
Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей
степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:
[pic]
[pic] получим:
[pic]
Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]
Задача 3. Разложить на множители выражение:
[pic]
Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]
постоянными, получим:
[pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в
этом тождестве [pic], получим [pic] и
[pic]
Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но
в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в
меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и
[pic]постоянными, будем иметь:
[pic]
отсюда: [pic]
[pic]
[pic]
Таким образом исходное выражение (4) равно
[pic]

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение
её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных
функций:
Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного
корня.
[pic] (1)
Решение: Область определения данного уравнения — промежуток [pic]
определение на этом промежутке функцию [pic], положив
[pic]
Тогда, на [pic]
[pic]
[pic] [pic] [pic] ( [pic],
и таким образом функция [pic]- возрастающая, так что данное уравнение (1)
не может иметь более одного решения.
Задача 2. При каких значениях [pic] имеет решения уравнение
[pic] (2)
Решение: область определения уравнения — отрезок [pic], рассмотрим функцию
[pic], положив [pic]
Тогда на открытом промежутке [pic]
[pic]
[pic], так что [pic]- единственная критическая точка функции [pic],
являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку [pic] [pic] то [pic]
примет наибольшее значение при [pic], а наименьшее значение — при [pic].
Так как функция [pic] непрерывна, то её область значений представляет
собой отрезок [pic], между её наименьшим и наибольшим значением. Другими
словами, исходное уравнение (2) имеет решения при [pic].

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в
математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но
громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для
учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и
повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в
точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0
— это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность
изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или
относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости
по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции
скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа,
позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических
понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью
математических формул.
Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то
есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная
выручка, предельная производительность труда или других факторов
производства и т. д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе
базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения
оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по
экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

[pic]

————————

[pic]

Рис.5

Рис.2 (а)

+

–

50

Е’
E

[pic]

[pic]

+

–

1

E’
E

[pic]

Рис.4 (б)

Рис.4 (а)

Рис. 3

Рис.2 (б)

f(x)

[pic]

а

б

[pic]

[pic]

С

С

B

Q

C(t)

E

A