Динамическое программирование

Курсовая работа по теории оптимального управления экономическими системами.
Тема : Задача динамического программирования.

I.Основные понятия и обозначения.

Динамическое программирование – это математический метод поиска
оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым
процессам. Рассмотрим пример такого процесса.
Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом
является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются
средства, которые должны быть как-то распределены между этими
предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично
расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий
от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут
перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то
доля средств.
Ставится вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся
средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за
N лет был максимальным?
Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой
рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий.
Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств.
Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из
предприятий в начале года.
УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в
будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла
выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это
помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо
выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.
Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни
заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого
машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема
выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый
год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все
средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся
машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема
продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет.
Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на
производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно,
снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее
производство в последующие годы.
В формализме решения задач методом динамического программирования будут
использоваться следующие обозначения:
N – число шагов.
[pic]– вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге.
[pic]– начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге.
[pic]– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.
Xk – область допустимых состояний на k-ом шаге.
[pic]– вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из
состояния xk-1 в состояние xk.
Uk – область допустимых УВ на k-ом шаге.
Wk – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.
S – общий выигрыш за N шагов.
[pic]– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.
Sk+1([pic]) – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого
состояния [pic][pic]в конечное состояние [pic] при оптимальной стратегии
управления начиная с (k+1)-го шага.
S1([pic]) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе
системы из начального состояния [pic] в конечное [pic] при реализации
оптимальной стратегии управления [pic]. Очевидно, что S = S1([pic]), если
[pic] –фиксировано.
Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия
последействия и условие аддитивности целевой функции.
Условие отсутствия последействия. Состояние [pic], в которое перешла
система за один k-й шаг, зависит от состояния [pic] и выбранного УВ [pic] и
не зависит от того, каким образом система пришла в состояние [pic], то есть
[pic]

Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состояния [pic] и выбранного
УВ [pic], то есть
[pic]

Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов
вычисляется по формуле
[pic]

Определение. Оптимальной стратегией управления [pic] называется
совокупность УВ [pic], то есть [pic], в результате реализации которых
система за N шагов переходит из начального состояния [pic] в конечное [pic]
и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.
Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип
оптимальности Белмана.
Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние
системы[pic][pic] перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ
[pic] на этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный
выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.
В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим
рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в
начале i-го года группе предприятий [pic] выделяются соответственно
средства: [pic][pic]совокупность этих значений можно считать управлением
на i-м шаге, то есть [pic]. Управление [pic] процессом в целом представляет
собой совокупность всех шаговых управлений, то есть [pic].
Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным.
Эффективность управления [pic] оценивается показателем S. Возникает
вопрос: как выбрать шаговые управления [pic], чтобы величина S обратилась
в максимум ?
Поставленная задача является задачей оптимального управления, а
управление, при котором показатель S достигает максимума, называется
оптимальным. Оптимальное управление [pic] многошаговым процессом состоит из
совокупности оптимальных шаговых управлений:

[pic]
Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление
на каждом шаге [pic](i=1,2,…N) и, значит, оптимальное управление всем
процессом [pic].

II. Идеи метода динамического программирования

Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на
каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах.
Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один,
который может планироваться без «заглядыва-ния в будущее». Какой это шаг?
Очевидно, последний — после него других шагов нет. Этот шаг, единственный
из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую
выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему
пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.
Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе
разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется
последний,
N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился
предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том,
чем кончился предпоследний, (N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое
управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы
максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление
(УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й
шаг закончился определенным образом.
Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода
(N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно
оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптимизировать управление на
предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том,
чем кончился предпредпоследпий, то есть (N — 2)-й шаг, и для каждого из
этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш
за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был
максимален. Далее оптимизируется управ чение на (N — 2)-м шаге, и т.д.
Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает
оптимальное продолжение процесса относительно достигнутого в данный момент
состояния. Этот принцип выбора управления , называется принципом
оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение
процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.

Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что
делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага.
Тогда мы можем найти уже не «условное», а дейсгвительно оптимальное
управление на каждом шаге. |
Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Теперь мы
уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для
первого шага и начального сосюяния. В результате этого управления после
первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы
знаем УОУ и г д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом,
приводящее к максимально возможному выигрышу.
Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динамического
программирования многошаговый процесс «проходится» дважды:
— первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся УОУ| на
каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с
данного и до конца процесса;
. второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные
управления на всех шагах процесса.
Можно сказать, что процедура построения оптимального управления
методом динамического программирования распадается на две стадии:
предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага
определяется УОУ, зависящее от состояния системы (достигнутого в результате
предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах,
начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии
определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага.
Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном
порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная)
оптимизация — также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к
последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и
трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй
трудности не представляет: остается только «прочесть» рекомендации, уже
заготовленные на первой стадии.

III. Пример задачи динамического программирования
Выбор состава оборудования технологической линии.
Есть технологическая линия , то есть цепочка, последовательность
операций.
На каждую операцию можно назначить оборудование только каго-то одного
вида, а оборудования, способного работать на данной операции, —
несколько видов.

Исходные данные для примера

|i |1 |2 |3 |
|j |1 |2 |1 |2 |1 |2 |
| |10 |8 |4 |5 |8 |9 |
|[pic] |12 |8 |4 |6 |9 |9 |
| |20 |18 |6 |8 |10 |12 |

Стоимость сырья
Расходы , связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-
ой операции[pic]
Производительности, соответственно, по выходу и входу [pic] и [pic] для
j-готипа оборудования, претендующего на i-ую операцию.

Решение:
Для того, чтобы решить данную задачу методом динамического
программирования введем следующие обозначения:
N = 3 – число шагов.
[pic] — Технологическая линия.
[pic]= (0,0,0)
[pic]= ( )
[pic] – выбор оборудования для i-ой операции.
Ui – область допустимых УВ на i-м шаге.
[pic]т.е.[pic]
Wi – оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации
i-го шага.
S – функция общего выигрыша т. е. минимальная себестоимость .

— вектор – функция, описывающая переход системы
из состояния в состояние [pic] под действием УВ.

[pic] — вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий переход системы из
состояния xi-1 в состояние xi , т.е. оптимальный выбор оборудования за N
шагов.
Si+1([pic]) – максимальный выигрыш ( в нашем случае минимальная
себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния [pic][pic]в
конечное состояние [pic] при оптимальной стратегии управления начиная с
(k+1)-го шага.
S1([pic]) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе
системы из начального состояния [pic] в конечное [pic] при реализации
оптимальной стратегии управления [pic]. Очевидно, что S = S1([pic]), если
[pic]= 0.

Запишем вектора допустимых значений

Запишем вектора допустимых управляющих воздействий

Запишем вектор – функцию, описывающую переход системы из состояния
в состояние [pic] под действием УВ.

Запишем основное функциональное уравнение

1) Обратный проход
Для i=3

Учитывая то, что этот шаг у нас последний и следующей операции
уже не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции
возьмем стоимость сырья

при [pic]
=

при [pic]
=

т. е.

Для i=2

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
=

т. е.

Для i=1

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
==

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
=

при [pic]
=

т. е.

2) Прямой проход
Учитывая то, что и [pic]= (0,0,0)
имеем
i=1

i=2

i=3

Таким образом оптимальный выбор составаоборудования технологической
линии предполагает следующее:
На 1-ую операцию назначим оборудование 2-го вида
На 2-ую операцию назначим оборудование 1-го вида
На 3-ью операцию назначим оборудование 2-го вида
Оценка минимальной себестоимости составит 105,5.

————————
[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic][pic]

[pic][pic]
[pic]

[pic]

[pic][pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]115,2
[pic]

[pic]

[pic]138,04
[pic]

[pic]

[pic]102,8
[pic]

[pic]

[pic]123,1
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]140,2
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]125,3
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *